Het geheugen van een Collatz reeks, deel 2

[Regor]

@WillemB

U schreef:
Als je kan bewijzen dat dit klopt, dan heb je ook een bewijs, omdat er geen getal gevonden kan worden
die niet aan Collatz voldoet, daaruit volgt dan dat alle getallen wel aan Collatz voldoen.

Gewoon een vraag:
Houdt U rekening met het uitsluiten van negatieve getallen en / of breuken ?

[Professor Puntje]

Is dit de bedoeling?

\( \mathcal{D}(T_0,n) = \mathcal{C}(T_0,n) - \mathcal{A}(T_0,n) \)

Daarbij wordt dan \( \mathcal{D}(T_0,n) \) gedefinieerd uitgaande van de al eerder gedefinieerde functies \( \mathcal{C}(T_0,n) \) en \( \mathcal{A}(T_0,n) \) .

[Professor Puntje]

Ik heb voor T_n in de verkorte Collatz-rij T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... dat::

\( T_n = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) )\)

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{C}(T_0,n) } } \)

Maar wat kun je daarmee?

Dus met de pas gedefinieerde \( \mathcal{D} \) wordt dat dan:

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) + \mathcal{A}(T_0,n) } } \)

[WillemB]

Dat klopt, echter ik had er een functie van gemaakt, omdat ik ergens de groei van \( \mathcal{D}(T_0,n) \) nodig heb,

met die groei functie met \( \mathcal{D}(T_0,n) \) wil ik bewijzen er geen T₀ ≠ Collatz bestaat.
Waar laten we die functie nu, is voor mij nu niet meer zichtbaar..?

@Regor,
In Collatz komen per definitei alleen positieve natuurlijke getallen voor, en ook geen gebroken getallen, alles levert
gehele natuurlijke getallen op.

[Regor]

@WillemB,

Dat weet ik ook (al 25 jaar) , dan begreep U mijn vraag niet.
Als U met uw formules een getal zou vinden die niet voldoet ...... en het blijkt een breuk te zijn ..... wat dan ?
Of kan zich dat volgens uw formules niet voordoen.?

[WillemB]

@WillemB,

Dat weet ik ook (al 25 jaar) , dan begreep U mijn vraag niet.
Als U met uw formules een getal zou vinden die niet voldoet ...... en het blijkt een breuk te zijn ..... wat dan ?
Of kan zich dat volgens uw formules niet voordoen.?

De formule is recursief, en volgt dus de Collatz definitie, die kan ook geen breuk of negatief getal veroorzaken.

[Professor Puntje]

We hadden dit:

Definieer de verkorte Collatz-rij T₀, T₁, T₂, T₃, ... , T_n , ... als volgt:

\( T_{n+1} = \,\,\,\,\, \frac{T_n}{2} \,\,\,\,\, \,\, \mbox{voor} \, T_n \, \mbox{is even} \)

\( T_{n+1} = \frac{ 3 \cdot T_n \, + \, 1}{2} \,\, \mbox{voor} \, T_n \, \mbox{is oneven} \)


Laat de willem-breuk wb(z,a,b,c) voor alle \( z \in \mathbb{N} \) en \( a,b,c \in \mathbb{N}_o \) gedefinieerd zijn als:

\( \mbox{wb}(z,a,b,c) = \frac{ 3^a \cdot z \, + \, b }{ 2^c } \)

We definiëren nu de functie \( \mathcal{A} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) , de functie \( \mathcal{B} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) en de functie \( \mathcal{C} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) als volgt:

(i) Het startpunt voor alle \( x \in \mathbb{N} \) is:
\( \mathcal{A}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{B}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{C}(x,0) = 0 \)

(ii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle even \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) in \( \mathbb{N} \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = \mathcal{B}(x,n) \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)

(iii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle oneven \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) + 1 \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = 3 \mathcal{B}(x,n) + 2^{\mathcal{C}(x,n)} \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)

( Steeds met \( \mathbb{N} = \{1,2,3, ... \} \) en \( \mathbb{N}_o = \{0,1,2,3, ... \} \). )

We zien dat de willem-breuk \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) voor \( x \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \) steeds een geheel getal blijft zodat je kunt uitmaken of de betreffende willem-breuk even of oneven is. Ook zien we dat de functiewaarden van \( \mathcal{A} \) , \( \mathcal{B} \) en \( \mathcal{C} \) inderdaad steeds binnen \( \mathbb{Z} \) vallen. En daarmee zijn de functiewaarden van de functies \( \mathcal{A}\) , \( \mathcal{B}\) en \( \mathcal{C} \) voor alle \( x \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \) gedefinieerd.


Dus krijgen we nu:

(i) Het startpunt voor alle \( x \in \mathbb{N} \) is:
\( \mathcal{A}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{B}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{C}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{D}(x,0) = \mathcal{C}(x,0) - \mathcal{A}(x,0) = 0 - 0 = 0 \)

(ii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle even \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) in \( \mathbb{N} \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = \mathcal{B}(x,n) \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)
\( \mathcal{D}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n+1) - \mathcal{A}(x,n+1) = (\mathcal{C}(x,n) + 1) - \mathcal{A}(x,n) = (\mathcal{C}(x,n) - \mathcal{A}(x,n) ) + 1 = \mathcal{D}(x,n) + 1 \)

(iii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle oneven \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) + 1 \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = 3 \mathcal{B}(x,n) + 2^{\mathcal{C}(x,n)} \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)
\( \mathcal{D}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n+1) - \mathcal{A}(x,n+1) = (\mathcal{C}(x,n) + 1) - (\mathcal{A}(x,n) + 1) = \mathcal{C}(x,n) - \mathcal{A}(x,n) = \mathcal{D}(x,n) \)

Dus is \( \mathcal{D} \) een niet-dalende functie van n.

[Professor Puntje]

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) + \mathcal{A}(T_0,n) } } \)

Anders geschreven:

\( T_n = \frac{1}{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) } } \cdot \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{\mathcal{A}(T_0,n) } } \)

\( T_n = \frac{1}{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) } } \cdot \left ( \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 }{ 2^{\mathcal{A}(T_0,n) } } \,\, + \,\, \frac{ \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{\mathcal{A}(T_0,n) } } \right ) \)

\( T_n = \frac{1}{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) } } \cdot \left ( ( \frac{3}{2})^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \,\, + \,\, \frac{ \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{\mathcal{A}(T_0,n) } } \right ) \)

[WillemB]

Weer wat overwegingen nadat we \( \mathcal{D} \) hebben vastgesteld als een niet dalende functie :

Stel nu dat er inderdaad een Collatz reeks zou zijn T₀ die nooit naar 1 zal gaan,
dan zal de reeks oneindig blijven lopen: T_0(n) waarvoor geld dat: n => ∞

Daar is uitsluitend maar 1 mogelijkheid voor, die niet aan de Collatz regels voldoet, en dat is,
als de reeks enkel repeterend \( \mathcal{A} \)(x,n) bewerking toestaat en niets anders, dan blijft \( \mathcal{D} \) = \( \mathcal{D} \)

Maar in alle andere reeksen waar extra \( \mathcal{C}(x,n) \) bewerkingen plaatsvinden zal \( \mathcal{D} \) =\( \mathcal{D} \) +1 en zal \( \mathcal{D} \) => ∞

Indien \( \mathcal{D} \) => ∞ dan krijgen we: 1> Willem-breuk >0
Wat volgens mij bewijst dat deze overige reeksen altijd zullen dalen richting 1

[Professor Puntje]

Voor \( \mathcal{D} \) vonden we dit:

(i) Het startpunt voor alle \( x \in \mathbb{N} \) is:
\( \mathcal{D}(x,0) = 0 \)

(ii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle even \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) geldt:
\( \mathcal{D}(x,n+1) = \mathcal{D}(x,n) + 1 \)

(iii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle oneven \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) geldt:
\( \mathcal{D}(x,n+1) = \mathcal{D}(x,n) \)


Dus \( \mathcal{D}(x,n) \) wordt bij een toename van n met 1 alleen 1 groter wanneer \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) even is, en als \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) oneven is dan blijft \( \mathcal{D}(x,n) \) bij een toename van n met 1 gelijk.

[Professor Puntje]

Wat simpeler geformuleerd:

(i) Het startpunt voor alle \( T_0 \in \mathbb{N} \) is:
\( \mathcal{D}(T_0,0) = 0 \)

(ii) Voor alle even termen T_n van de verkorte Collatz-rij: T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... geldt:
\( \mathcal{D}(T_0,n+1) = \mathcal{D}(T_0,n) + 1 \)

(iii) Voor alle oneven termen T_n van de verkorte Collatz-rij: T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... geldt:
\( \mathcal{D}(T_0,n+1) = \mathcal{D}(T_0,n) \)


Dus \( \mathcal{D}(T_0,n) \) wordt bij een toename van n met 1 alleen 1 groter wanneer de term T_n van de verkorte Collatz-rij: T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... even is, en als de term T_n van de verkorte Collatz-rij: T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... oneven is dan blijft \( \mathcal{D}(T_0,n) \) bij een toename van n met 1 gelijk.

[Professor Puntje]

@WillemB Ik volg je redenering niet helemaal.

[WillemB]

Wat simpeler geformuleerd:

(i) Het startpunt voor alle \( T_0 \in \mathbb{N} \) is:
\( \mathcal{D}(T_0,0) = 0 \)

(ii) Voor alle even termen T_n van de verkorte Collatz-rij: T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... geldt:
\( \mathcal{D}(T_0,n+1) = \mathcal{D}(T_0,n) + 1 \)

(iii) Voor alle oneven termen T_n van de verkorte Collatz-rij: T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... geldt:
\( \mathcal{D}(T_0,n+1) = \mathcal{D}(T_0,n) \)

Dit is inderdaad goed gedefineerd en cruciaal in het geheel, de functie \( \mathcal{D} \) heeft inderdaad twee kenmerken,
de functie is niet dalend, (iii), of de functie is stijgend (ii).

Waar het dus om gaat is dat de functie \( \mathcal{D} \) verder zal stijgen gedurende dat de reeks loopt.
Daarom hadden we het ook als een functie gedefinieerd volgens mij ....

[Professor Puntje]

Dat je \( \mathcal{D}(T_0,n) \) willekeurig groot kunt maken door n maar groot genoeg te kiezen is nog niet bewezen...

[WillemB]

Dat je \( \mathcal{D}(T_0,n) \) willekeurig groot kunt maken door n maar groot genoeg te kiezen is nog niet bewezen...

Dat is het volgende punt om te bewijzen, de effecten van de waarde van de functie \( \mathcal{D}(T_0,n) \)

\( \mathcal{D}(T_0,n) \) kan maar één kant op en dat is groter worden of gelijk blijven,
Maar gelijk blijven heeft een consequentie, dat de reeks niet naar 1 kan afdalen.

Wanneer wordt \( \mathcal{D}(T_0,n) \) niet groter, dat kan maar in één geval,
als de reeks namelijk alleen maar bestaat uit oneven stappen.

Maar als de reeks alleen maar bestaat uit oneven, zal de reeks nooit meer naar 1 gaan, en oneindig duren. !

Even stap voor stap redeneren...