Wanneer noemen we een bewerking een "optellng" en wanneer een "vermenigvuldiging"

[vijv]

Een veld (of een ring) bestaat uit twee bewerkingen. De ene noemen we de "optelling" en de andere "vermenigvuldiging".
Is dit louter willekeurig of zijn er bepaalde eigenschappen verbonden aan de bewerking om ze "optelling" of "vermenigvuldiging" te noemen?

[wnvl1]

De bewerkingen '+' en '\(\cdot \)' in een ring of veld moeten voldoen aan specifieke axioma's, die bepalen hoe ze zich gedragen: 
Voor '+' (optelling):
De verzameling met '+' vormt een abelse groep, wat betekent:
Associatief: (a + b) + c = a + (b + c).
Commutatief: a + b = b + a.
Neutraal element (nul): Er is een 0 zodat a + 0 = a.
Inversen: Voor elke a is er een -a zodat a + (-a) = 0.

Voor '\(\cdot \)' (vermenigvuldiging):
Associatief: (a \(\cdot \) b) \(\cdot \) c = a \(\cdot \) (b \(\cdot \) c).
Neutraal element (één): Er is een 1 zodat a \(\cdot \) 1 = a (alleen in velden).

Distributiviteit: Dit verbindt de twee bewerkingen: a \(\cdot \) (b + c) = (a \(\cdot \) b) + (a \(\cdot \) c). 

Verschil tussen Ring en Veld 
Ring: Voldoet aan de bovenstaande regels, inclusief de distributiviteit.
Veld (Field): Een ring waar de vermenigvuldiging ook commutatief is, en elk element (behalve nul) een multiplicatief invers (een 'deelbaar door') heeft, waardoor het zich nog meer gedraagt als de getallen die we kennen. 
Dus, de namen zijn gekozen vanwege de analogie met de bekende rekenkunde, maar de definitie wordt strikt bepaald door de wiskundige axioma's die de abstracte structuur vastleggen. 

[Professor Puntje]

Voor zover ik weet is een optelling altijd commutatief maar een vermenigvuldiging niet altijd. En voor een lichaam zal de optelling voor alle elementen een inverse hebben terwijl dat voor de vermenigvuldiging voor het element "0" niet hoeft.

[vijv]

Voor zover ik weet is een optelling altijd commutatief maar een vermenigvuldiging niet altijd. En voor een lichaam zal de optelling voor alle elementen een inverse hebben terwijl dat voor de vermenigvuldiging voor het element "0" niet hoeft.

Is dat zo? Neem de tekstoptelling: ab+ba = abba maar ba+ab= baab dus niet commutatief.

[HansH]

ik zie dat meer als 'aan elkaar koppelen' dan krijg je dus de discussie wat het verschil is tussen optellen en aan elkaar koppelen.

[vijv]

Veld (Field): Een ring waar de vermenigvuldiging ook commutatief is, en elk element (behalve nul) een multiplicatief invers (een 'deelbaar door') heeft, waardoor het zich nog meer gedraagt als de getallen die we kennen. 
Dus, de namen zijn gekozen vanwege de analogie met de bekende rekenkunde, maar de definitie wordt strikt bepaald door de wiskundige axioma's die de abstracte structuur vastleggen. 

Dus in een veld bepaald de distributiviteit welk de optelling is en welk de vermenigvuldiging.

[Professor Puntje]

Voor zover ik weet is een optelling altijd commutatief maar een vermenigvuldiging niet altijd. En voor een lichaam zal de optelling voor alle elementen een inverse hebben terwijl dat voor de vermenigvuldiging voor het element "0" niet hoeft.

Is dat zo? Neem de tekstoptelling: ab+ba = abba maar ba+ab= baab dus niet commutatief.

Misschien wat flauw maar dat voorbeeld zie ik als voldoende reden om concatenatie niet als een legitieme vorm van optelling te beschouwen.

[vijv]

Misschien wat flauw maar dat voorbeeld zie ik als voldoende reden om concatenatie niet als een legitieme vorm van optelling te beschouwen.

Het is misschien flauw omdat je geen reden geeft, maar je hebt wel gelijk. ik ben op het internet wat gaan zoeken en vat het als volgt samen:
Een bewerking wordt “optelling” of “vermenigvuldiging” genoemd niet vanwege de formule, maar vanwege de rol die ze speelt in de structuur. (zoals Wvnl1 reeds aangaf).
De optelling is de primaire bewerking en moet minimum aan volgende axioma's voldoen:
gesloten, associatief , neutraal element bezitten en commutatief zijn. (dit is een commutatieve monoid)
De vermenigvuldiging moet compatibel zijn met de optelling. Dit is de distributiviteit van de vermenigvuldiging over de optelling.
Verder moet zij gesloten zijn, associatief en een neutraal element verschillend van het neutraal element van de optelling bezitten. (een monoid).
Samen vormen ze een semiring.

[Professor Puntje]

Deels is dat een kwestie van afspraken, hoe noem je iets. Ik had nog nooit een niet-commutatieve optelling gezien dus ging ik er vanuit dat optellingen standaard als commutatief beschouwd worden. Het zal waarschijnlijk handig zijn om dat zo te definiëren.

[vijv]

Deels is dat een kwestie van afspraken, hoe noem je iets. Ik had nog nooit een niet-commutatieve optelling gezien dus ging ik er vanuit dat optellingen standaard als commutatief beschouwd worden. Het zal waarschijnlijk handig zijn om dat zo te definiëren.

De namen “optellen”/“vermenigvuldigen” verwijzen naar rollen in de axioma’s,
Zo kun je een veld construeren waar de vermenigvuldiging zoals we die kennen fungeert als optelling en de tweede bewerking a^logb is

[Professor Puntje]

Stel dat je niet-commutatieve operaties zoals de concatenatie wel als optelling had toegelaten, dan hadden de axioma's alleen betrekking gehad op de commutatieve optellingen en (al dan niet commutatieve) vermenigvuldigingen. Dat bedoel ik: het is maar net hoe je het noemt.

Wat de vermenigvuldiging onderscheidt van de optelling is dat er voor optellingen in lichamen altijd een inverse element is maar voor de vermenigvuldiging niet. Maar als je een tegenvoorbeeld weet hoor ik het graag.

[vijv]

Wat ik in mijn vorige post wilde benadrukken is of je een bewerking een optelling noemt relatief is aan de structuur waar je ze gebruikt. In mijn voorbeeld is de bewerking die we normaal als vermenigvuldiging zien , hier de optelling.

[Professor Puntje]

Het is mij nog niet duidelijk wat je voorbeeldstructuur (V, +, . ) hier is. Wat is V? En ten aanzien van de optelling + en vermenigvuldiging . van die structuur, zijn die dan gedefinieerd als?:

a + b = a.b
a . b = a^log(b)

[vijv]

klopt en zij vormen een veld

[Professor Puntje]

Zolang je niet hebt aangegeven wat V is vormt het geen structuur, en vallen de axioma's voor een lichaam ook niet te controleren.