Het geheugen van een Collatz reeks, deel 2

[Professor Puntje]

Goed - nuchter beschouwd is de willem-breuk dus niet meer en niet minder dan een elegante herformulering voor de algemene term van een (verkorte) Collatz-rij. Maar het quasi-random karakter van de Collatz-rij maakt dat we met de willem-breuk alleen nu niet verder komen. Daarvoor hebben we meer input nodig over het karakteristieke gedrag van Collatz-rijen.

[Regor]

Uit interesse,

Op dezelfde manier van Collatz schrijven in formule vorm zoals U deed ....... kan het ook voor de Vals Collatz rij van (3n-1) en /2
En dezelfde soort besluiten nemen zoals U neemt en AI neemt .... door het statistisch te beschouwen.

Helaas, driemaal helaas ......... de VC rij zit al in een beginlus 1/2/1/2/1 ... zoals de C rij 1/4/2/1
Maar ook bij 5 /14/7/20/10/5 en bij 7/20/10/5/14/7 ....
En daar werken de statistische beschouwingen ( op VC) helaas niet.

[Regor]

@PP

Op uw vraag "welke relatie" ?

Die vreselijke onvoorspelbare relatie tussen de groepen oneven getallen waar ik het over had.
WillemB wist al te schrijven dat de oneven groep (4k+3) ... éénmaal deelbaar dor 2 na toepassen van (3n+1) bij sommige oneven start getallen vele malen na elkaar voorkomt.
Opvallend is wel dat er maar één groep oneven getallen is van de vorm (8k+1) ....... tweemaal deelbaar door 2 na toepassen van (3n+1).
Het is de enige groep van de vorm ( X+1) ...... waarbij X moet 0 zijn om eind - oneven getal 1 te bekomen.

[Regor]

Ter info:

De groepen oneven getallen gecatalogeerd volgens het aantal keer dat ze deelbaar zijn door 2 na toepassen van (3n+1)
(4k+3) .... éénmaal door leidt tot deze groep even getallen : 2(2k+1)
(8k+1) ...... tweemaal 4(2k+1)
(16k+13) 8(2k+1)
(32k+5) ...........
(64k+53)
(128k+21)
(256k+213)
(512k+85)
(1024k+853)
(2048k+341) .. tienmaal 1024(2k+1)
.............
Voor de "even aantal keer deelbaar door2"
Van de getallen 1,5,21,85, 341 ....... kan men eenvoudig de volledige rij tot oneindig genereren ....... PP heeft de formule.
Voor de "oneven aantal keer deelbaar door 2"
Van de getallen 3,13,53,213, 853 ...... kan men eenvoudig de volledige rij tot oneindig genereren ....... PP heeft de formule

Misschien heeft U hebben jullie daar iets aan.

[Professor Puntje]

@Regor Ik zie niet wat we daarmee kunnen.

[Regor]

@PP

Ik ook niet direct.
Maar het zijn de enige formules die uitdrukken wat het volgend oneven getal is ... van groep naar groep.
Uw extreme logica moet er toch iets zinvol kunnen mee doen ........ denk/ hoop ik.

[Professor Puntje]

Ik ga vandaag proberen om een (naar ik hoop) eenvoudiger variant op de willem-breuk uit te werken. Misschien komen we daar wel verder mee. Het idee is om voor de verkorte Collatz-rij te schrijven:

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{G}(T_0,n) } }{ 2^n } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{R}(T_0,n) \)

Wie ziet gelijk al wat voor formules we dan voor \( \mathcal{G}(T_0,n) \) en \( \mathcal{R}(T_0,n) \) krijgen?

[Professor Puntje]

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{G}(T_0,n) } }{ 2^n } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{R}(T_0,n) \)

Voor \( \mathcal{G}(T_0,n) \) neem ik het aantal oneven termen in de deelrij: T₀, T₁, T₂, ... , T_n-1 .

Maar wat is dan \( \mathcal{R}(T_0,n) \) ?

[Professor Puntje]

Noem de som van een eindig rijtje termen van de vorm \( \frac{3^i}{2^j} \) voor \( i,j \in \mathbb{N}_o \) geschikt. Dan zien we dat de operaties x/2 en (3x+1)/2 die de verkorte Collatz-rij genereren wanneer toegepast op een geschikte som steeds opnieuw een geschikte som opleveren.

[Professor Puntje]

Voorbeelden:

\( \frac{ \frac{3^5}{2^6} + \frac{3^0}{2^1} }{2} = \frac{3^5}{2^7} + \frac{3^0}{2^2} \)


\( \frac{ 3 \cdot ( \frac{3^5}{2^6} + \frac{3^0}{2^1} ) \, + \, 1 }{2} = \frac{ 3 \cdot ( \frac{3^5}{2^6} + \frac{3^0}{2^1} ) }{2} \, + \, \frac{1}{2} \)

\( \frac{ 3 \cdot ( \frac{3^5}{2^6} + \frac{3^0}{2^1} ) \, + \, 1 }{2} = \frac{3^6}{2^7} + \frac{3^1}{2^2} \, + \, \frac{3^0}{2^1} \)

[WillemB]

De fractionele som-notatie,

ik heb er toen ook naar de sommatie gekeken, de formule is juist,
maar liep vast op het random karakter van de plus 1 optelling,
afhankelijk van T_(0,n) kreeg je 2^c (als 1) erbij in de sommatie.
Dat was niet te voorspellen.

[Professor Puntje]

Dat quasi-random karakter blijft een probleem maar ik hoop dat we zo een handelbaarder uitdrukking krijgen.

[Professor Puntje]

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{G}(T_0,n) } }{ 2^n } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{R}(T_0,n) \)

Voor \( \mathcal{G}(T_0,n) \) neem ik het aantal oneven termen in de deelrij: T₀, T₁, T₂, ... , T_n-1 .

Maar wat is dan \( \mathcal{R}(T_0,n) \) ?

Dit verdient nog een aanvulling want \( \mathcal{G}(T_0,0) \) is zo nog niet gedefinieerd, daarvoor nemen we:

\( \mathcal{G}(T_0,0) = 0 \)

Om dan met onze algemene formule T₀ = T₀ te krijgen moet ook:

\( \mathcal{R}(T_0,0) = 0 \)

[Professor Puntje]

Het grote moment is daar!! De ontdekking van de Willem-getallen :

[WillemB]

Dit verdient nog een aanvulling want \( \mathcal{G}(T_0,0) \) is zo nog niet gedefinieerd, daarvoor nemen we:

\( \mathcal{G}(T_0,0) = 0 \)

Om dan met onze algemene formule T₀ = T₀ te krijgen moet ook:

\( \mathcal{R}(T_0,0) = 0 \)

Dat klopt, omdat bij de start van een reeks, er nog geen +1 is voorgekomen,
het is tenslotte, de sommatie van alle +1, teller begint pas te lopen bij de eerste keer (3x+1).

Voorbeeld even het getal 15, omdat deze met 4 maal oneven begint, \( \mathcal{R}(T_0,n) \)

0 - 1 - 5 - 19 - 65 - verder op wordt het 195 en eindelijk 451

ter aanvulling voor dit voorbeeld, uiteindelijk wordt het, onder de streep, 2¹² en boven 3⁵ + 451