Zin en onzin van de reële snelheid

[Professor Puntje]

Definieer de reële snelheid \( \Upsilon \) van een voorwerp p langs de x-as in het frame S als de functie van het interval (0,1) naar \( \mathbb{R} \) waarbij \( \Upsilon(\varepsilon) = \frac{v_{\varepsilon}}{c} \) met \( v_{\varepsilon} = \frac{\mbox{d} x}{\mbox{d} t_{\varepsilon}} \) de snelheid van p langs de x-as in S bij gebruik van de Reichenbach synchronisatie-parameter \( \varepsilon \) voor de tijd \( t_{\varepsilon} \) en waarin c de standaard lichtsnelheid (volgens het SI-stelsel) is.

Kun je zo reële snelheden van voorwerpen in grootte vergelijken?

(Dit topic is afgesplitst van: topic/experimenten-voor-het-meten-van-d ... -het-licht? )

[vijv]

Ik vind de term reële snelheid misleidend. Dat doet uitschijnen dat de snelheid gedefinieerd in een coördinatiestelsel minder fysisch is.
Naar mijn mening (maar gelukkig kan ik verkeerd zijn) wijst de vraag naar reëel dat je diep van binnen nog Newtoniaans denkt. Is de snelheid van een stilstaand glas in de trein minder reëel dan de snelheid van de dat glas voor iemand op het perron?
Kunnen we iets zinnigs zeggen over snelheden die niet gemeten kunnen worden zoals de heensnelheid binnen het kader van Lorenz transformaties?

[Professor Puntje]

Hieronder alvast een uit het vorige topic geciteerde reactie van wnvl1:

We definiëren de reële snelheid als
\[
\Upsilon(\varepsilon) = \frac{v_\varepsilon}{c}
\quad \text{met} \quad
v_\varepsilon = \frac{dx}{dt_\varepsilon}.
\]

De Reichenbach-gesynchroniseerde tijd is gerelateerd aan de Einstein-tijd via
\[
t_\varepsilon = t_E + \frac{(2\varepsilon-1)x}{c}.
\]

Door differentiëren volgt
\[
dt_\varepsilon = dt_E + \frac{(2\varepsilon-1)}{c}\, dx.
\]

Daaruit volgt voor de snelheid
\[
v_\varepsilon
=
\frac{dx}{dt_\varepsilon}
=
\frac{dx/dt_E}{1 + \frac{(2\varepsilon-1)}{c} \frac{dx}{dt_E}}
=
\frac{v_E}{1 + (2\varepsilon-1)\frac{v_E}{c}}.
\]

Definieer nu de dimensieloze grootheid
\[
\beta = \frac{v_E}{c}.
\]

Dan wordt de functie
\[
\Upsilon(\varepsilon)
=
\frac{\beta}{1 + (2\varepsilon-1)\beta}.
\]

Hieruit blijkt dat de volledige functie \( \Upsilon(\varepsilon) \) volledig bepaald wordt door het enkele getal \( \beta \). De zogenoemde reële snelheid bevat dus precies dezelfde informatie als de Einstein-snelheid.

Neem nu twee voorwerpen met Einstein-snelheden \( v_{E,1} \) en \( v_{E,2} \), en definieer
\[
\beta_1 = \frac{v_{E,1}}{c},
\qquad
\beta_2 = \frac{v_{E,2}}{c}.
\]

Hun bijbehorende functies zijn dan
\[
\Upsilon_1(\varepsilon)
=
\frac{\beta_1}{1 + (2\varepsilon-1)\beta_1},
\]
\[
\Upsilon_2(\varepsilon)
=
\frac{\beta_2}{1 + (2\varepsilon-1)\beta_2}.
\]

Voor \( |\beta| < 1 \) is de afbeelding
\[
\beta \longmapsto \frac{\beta}{1 + (2\varepsilon-1)\beta}
\]
monotoon stijgend voor elke vaste waarde van \( \varepsilon \). Daarom geldt
\[
|\beta_1| < |\beta_2|
\quad \Longleftrightarrow \quad
|\Upsilon_1(\varepsilon)| < |\Upsilon_2(\varepsilon)|
\]
voor elke vaste waarde van \( \varepsilon \).

Daaruit volgt dat de ordening van snelheden niet afhangt van de gekozen synchronisatie.

Men kan bovendien \( \beta \) terug reconstrueren uit \( \Upsilon(\varepsilon) \). Oplossen naar \( \beta \) geeft
\[
\beta
=
\frac{\Upsilon(\varepsilon)}{1 - (2\varepsilon-1)\Upsilon(\varepsilon)}.
\]

Dit toont dat de functie \( \Upsilon(\varepsilon) \) volledig equivalent is aan één enkele Einstein-snelheid \( v_E \).

De constructie elimineert dus niet de synchronisatie-afhankelijkheid, maar verpakt alle conventionele beschrijvingen in één functie. Er wordt geen nieuwe fysisch onafhankelijke grootheid geconstrueerd.

De fundamenteel invariant blijvende grootheid is het ruimtetijdinterval
\[
ds^2 = -c^2 dt_E^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2,
\]
dat onafhankelijk is van de synchronisatiekeuze.

[HansH]

Uitleg is meer dan alleen een hele rits formules neerschrijven. Het gaat vooral om de gedachtengang erachter. Daardoor ontstaat nu onduidelijklheid volgens mij dia al begint op regel 1 over wat je met 'reele snelheid' bedoelt en vooral waarom je dat wilt invoeren.

[Professor Puntje]

Ik vind de term reële snelheid misleidend. Dat doet uitschijnen dat de snelheid gedefinieerd in een coördinatiestelsel minder fysisch is.
Naar mijn mening (maar gelukkig kan ik verkeerd zijn) wijst de vraag naar reëel dat je diep van binnen nog Newtoniaans denkt. Is de snelheid van een stilstaand glas in de trein minder reëel dan de snelheid van de dat glas voor iemand op het perron?
Kunnen we iets zinnigs zeggen over snelheden die niet gemeten kunnen worden zoals de heensnelheid binnen het kader van Lorenz transformaties?

Ik sta open voor een andere benaming, die kan in dit stadium van het onderzoek nog wel aangepast worden.

De achterliggende gedachte hier is dat een fysische grootheid die is gedefinieerd onafhankelijk van een vrij te kiezen waarde voor \( \varepsilon \) in zekere zin inderdaad reëler is dan een grootheid die voor een zekere gekozen waarde van \( \varepsilon \) wordt opgegeven. Je hebt zo immers een subjectief element (die keuze van een specifieke waarde voor \( \varepsilon \)) in je grootheid vermeden. De situatie is hier analoog aan het verschil tussen een vector die wordt gedefinieerd onafhankelijk van de gekozen basisvectoren vergeleken met een vector waarvan de componenten ten opzichte van een zekere gekozen basis worden opgegeven.

[Professor Puntje]

Stel dat \( \beta_1 = \beta_2 \) voor \( \varepsilon = \frac{1}{2} \). Dan is het de vraag of dan ook automatisch geldt dat \( \Upsilon_1 = \Upsilon_2 \).

[vijv]

Stel dat \( \beta_1 = \beta_2 \) voor \( \varepsilon = \frac{1}{2} \). Dan is het de vraag of dan ook automatisch geldt dat \( \Upsilon_1 = \Upsilon_2 \).

Ik denk dat de formules van Wnvl1 hier duidelijk over zijn. \( \Upsilon \) is enkel afhankelijk van \( \beta \)

[Professor Puntje]

\( \beta = \frac{\Upsilon(\varepsilon)}{1 - (2\varepsilon-1)\Upsilon(\varepsilon)} \)

\( (\beta)_{\varepsilon = \frac{1}{2}} = \Upsilon(\frac{1}{2}) \)

Dus:

\( (\beta_1)_{\varepsilon = \frac{1}{2}} = (\beta_2)_{\varepsilon = \frac{1}{2}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \Upsilon_1(\frac{1}{2}) = \Upsilon_2(\frac{1}{2}) \)

Maar voor \( \Upsilon_1 = \Upsilon_2 \) moeten we weten dat \( \Upsilon_1(\varepsilon) = \Upsilon_2(\varepsilon) \) voor alle \( \varepsilon \in (0,1) \).

[Professor Puntje]

Stel dat we weten dat \( \Upsilon_1(\frac{1}{2}) = \Upsilon_2(\frac{1}{2}) \). Dan komt er wegens \( (\beta)_{\varepsilon = \frac{1}{2}} = \Upsilon(\frac{1}{2}) \) dat \( (\beta_1)_{\varepsilon = \frac{1}{2}} = (\beta_2)_{\varepsilon = \frac{1}{2}} \). Dus voor alle \( \Upsilon_1 \) en \( \Upsilon_2 \) waarvoor \( \Upsilon_1(\frac{1}{2}) = \Upsilon_2(\frac{1}{2}) \) hebben we dan ook dat \( (\beta_1)_{\varepsilon = \frac{1}{2} } = (\beta_2)_{\varepsilon = \frac{1}{2}} \).

Er bestaan dus oneindig veel combinaties van \( \Upsilon_1 \) en \( \Upsilon_2 \) die \( (\beta_1)_{\varepsilon = \frac{1}{2}} = (\beta_2)_{\varepsilon = \frac{1}{2}} \) opleveren. En dit stemt overeen met de intuïtieve notie dat de Einstein-synchronisatie (\( \varepsilon = \frac{1}{2}\)) eventuele verschillen in de "werkelijke" eenrichtingssnelheden van het licht maskeert. Een mooi resultaat.

[Professor Puntje]

WAARSCHUWING: mijn bovenstaande berichtjes kloppen niet, omdat ik daarin \( v_E \) en \( v_{\varepsilon} \) met elkaar verward heb. Ik moet dit allemaal nog eens veel zorgvuldiger stap voor stap narekenen.

[wnvl1]

Uitleg is meer dan alleen een hele rits formules neerschrijven. Het gaat vooral om de gedachtengang erachter. Daardoor ontstaat nu onduidelijklheid volgens mij dia al begint op regel 1 over wat je met 'reele snelheid' bedoelt en vooral waarom je dat wilt invoeren.

Het gaat hier in essentie om de formules en de redenering van PP. Ik heb de tekst enkel met behulp van AI duidelijker geformuleerd.

Het concept van een reële snelheid geniet voorlopig niet mijn voorkeur. Dat een snelheid coördinaatafhankelijk is, vormt voor mij geen enkel probleem. Integendeel, de volledige fysica is opgebouwd rond grootheden die gedefinieerd worden binnen een gekozen basis of coördinatenstelsel. Die afhankelijkheid op zich is dus geen bezwaar, maar een fundamenteel kenmerk van de beschrijving.

[Professor Puntje]

@wnvl1 Het begrip "reële snelheid" zal vermoedelijk alleen interessant zijn voor mensen die met natuurkunde bezig zijn vanuit een voornamelijk filosofische en/of historische belangstelling. Was het begrip reële snelheid van praktisch nut geweest dan waren anderen daar al wel eerder mee gekomen. Toch vind ik het leuk en een uitdaging om na te gaan wat we al dan niet met die reële snelheid kunnen.

[Professor Puntje]

Waar komt deze formule vandaan?

\[
t_\varepsilon = t_E + \frac{(2\varepsilon-1)x}{c}.
\]

[wnvl1]

We vertrekken van de gemeten heen-en-terugtijd:

\[
t_2 - t_1 = \frac{2x}{c}.
\]

De algemene synchronisatie wordt gedefinieerd als

\[
t_\varepsilon = t_1 + \varepsilon (t_2 - t_1),
\]

met \( 0 < \varepsilon < 1 \).

Invullen van de heen-en-terugtijd geeft:

\[
t_\varepsilon = t_1 + \varepsilon \frac{2x}{c}.
\]

Bij Einstein-synchronisatie geldt:

\[
t_E = t_1 + \frac{x}{c}.
\]

Hieruit volgt:

\[
t_1 = t_E - \frac{x}{c}.
\]

Substitutie in de uitdrukking voor \( t_\varepsilon \) geeft:

\[
t_\varepsilon =
\left( t_E - \frac{x}{c} \right)
+
\varepsilon \frac{2x}{c}.
\]

Herschikken levert:

\[
t_\varepsilon =
t_E
+
\left( 2\varepsilon - 1 \right)\frac{x}{c}.
\]

[Professor Puntje]

Mooi! Belangrijk is hier wel om op te merken dat er bij deze afleiding vanuit wordt gegaan dat de heen-en-terug snelheid van licht c is. In het geval de natuur daar vanaf zou wijken mag deze formule dus niet meer gebruikt worden.