spacetime-interval gebruiken bij tweelingparadox?

[flappelap]

Daarom is de eenvoudigste manier in mijn ogen ook om de formule voor de verstreken eigentijd op te schrijven, deze uit te rekenen voor een inertiaalwaarnemer, en op te merken dat dit een tensorvergelijking is zodat een transformatie naar de versnelde waarnemer die eigentijd ongemoeid laat.

[HansH]

Daarom is de eenvoudigste manier in mijn ogen ook om de formule voor de verstreken eigentijd op te schrijven, deze uit te rekenen voor een inertiaalwaarnemer, en op te merken dat dit een tensorvergelijking is zodat een transformatie naar de versnelde waarnemer die eigentijd ongemoeid laat.

Deze regel is voor mij ook weer erg onduidelijk. Heb je het nu over mijn gevraagde situatie waarbij versnellende waarnemer B naar waarnemer A kijkt?

Zelf denk ik dat je van dit soort situaties alleen maar echt iets leert en misverstanden voorkomt door uitgewerkte voorbeelden. Vandaar ook mijn vraag hoe dat plaatje van A er dan uit zou zien en hoe je dat dan moet construeren gegeven de versnellngen van B.

[HansH]

je moet de metriek mee transformeren. Zo'n versnelde waarnemer zal dus de lengte van een gebogen wereldlijn anders waarderen dan een inertiaalwaarnemer.

Je versnelde waarnemer zal b.v. een horizon waarnemen op een afstand afhankelijk van de eigenversnelling; iets dat totaal afwezig is in het frame van de inertiaalwaarnemer.

Dus versnellende waarnemer B die naar niet versnellende waarnemer A kijkt zal het traject van A meer vervormd zien worden naarmate A en B verder van elkaar weg zijn? immers als je zegt dat er ergens een horizon ontstaat dan zou B A helemaal niet meer zien bewegen totdat B stopt met versnellen en dan ineens A weer wel zien bewegen?

[Regor]

@HansH,

Om meer duidelijkheid te krijgen over wereldlijnen starte ik een topic "wereldlijnen in de SRT en "ART" ...... zonder de minste reactie.
Heel normaal gezien de topic van Regor komt ....... quantité negligable !
...................
Mijn visie (als amateur) is zeer simpel.
In eender welke omstandigheden van start van A en B op éénzelfde plaats, en samenkomst op éénzelfde plaats, hoeft men enkel de wereldlijnen van A en van B te berekenen ( kan aartsmoeilijk zijn ).
Die met de langste wereldlijn is het minst verouderd .... zo simpel is het !
Niet meer en niet minder.

[wnvl1]

Mijn visie (als amateur) is zeer simpel.
In eender welke omstandigheden van start van A en B op éénzelfde plaats, en samenkomst op éénzelfde plaats, hoeft men enkel de wereldlijnen van A en van B te berekenen ( kan aartsmoeilijk zijn ).
Die met de langste wereldlijn is het minst verouderd .... zo simpel is het !
Niet meer en niet minder.

Juist! Het principe is heel eenvoudig: als twee personen op dezelfde plaats starten en op dezelfde plaats weer samenkomen, bepaalt de lengte van hun wereldlijnen wie er ouder of jonger wordt. De persoon met de langste wereldlijn heeft de meeste eigentijd ervaren en is daarom ouder, terwijl degene met de kortere wereldlijn minder eigentijd ervaart en dus jonger is. Hierbij maakt het niet uit wie versnelt of vertraagt; dat kan ingewikkeld zijn om exact te berekenen, maar het resultaat volgt altijd uit de geometrie van de wereldlijnen.

Alles wat er over versnellingen, vertragingen of diagrammen gezegd wordt, verandert niets aan deze basisregel. Het enige wat telt is de lengte van de wereldlijn tussen het begin- en eindpunt, en dat is wat de paradox uiteindelijk zo elegant en eenvoudig maakt. Je kan de hele paradox begrijpen zonder ooit een versnelling uit te rekenen of een diagram te tekenen, zolang je maar het concept van wereldlijnen en eigentijd begrijpt.

[Regor]

@wnvl1,

Sorry, is het niet juist andersom ?

[wnvl1]

Dat hangt ervan af hoe je de lengte definieert. Ik definieer ze als

\[
\tau = \int \sqrt{dt^2 - \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{c^2}}
\]

[Regor]

@wnvl1,

Oei, probleem.
Is de wetenschappelijke definitie van de lengte van de wereldlijn dan niet volgens één uitdrukking ?

De langste wereldlijn is toch die met de meeste "beweging / snelheid / versnelling"....... en dus minst verouderd !

[wnvl1]

Waarschijnlijk bedoel je met “lengte” dit deel:
\[
\int \sqrt{\frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{c^2}}.
\]

Hoe groter dit is, hoe korter de eigentijd. Let echter op: dit stuk op zichzelf is niet Lorentzinvariant. Alleen de volledige Minkowski-lengte van de wereldlijn
\[
\tau = \int \sqrt{dt^2 - \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{c^2}}
\]
is daadwerkelijk invariant onder Lorentztransformaties en bepaalt de echte eigentijd van een waarnemer.

[Regor]

@wnvl1,

U schreef:
"is daadwerkelijk invariant onder Lorentztransformaties en bepaalt de echte eigentijd van een waarnemer."

Ok, we zijn er bijna:
1. Uw tweede formule is de toch invariante lengte van de wereldlijn ... of niet ?
2. Waarom spreektb U over "echte eigentijd van een waarnemer "?
Wat is de relatie tussen "echte eigentijd" en " invariante lengte van de wereldlijn ?

Of meng ik de zaken door elkaar ?

[wnvl1]

Wat is de relatie tussen "echte eigentijd" en " invariante lengte van de wereldlijn ?

Dat is hetzelfde in mijn verhaal.

[Regor]

@wnvl1,

Dus de lengte van een wereldlijn ..... is een tijd - duur ? ..... klopt dat ?
Als dat zo is .. leve het scheppen van verwarring !

[HansH]

@HansH,

Om meer duidelijkheid te krijgen over wereldlijnen starte ik een topic "wereldlijnen in de SRT en "ART" ...... zonder de minste reactie.

Dat heeft niets te maken met jou, maar met het feit dat het ook in dit topic past en 2 topics die elkaar overlappen altijd vervelend is omdat dan vaak dezelfde discussie komt in verschillende topics dus dus hoop dingen dubbel. Dubbele info is nooit goed. Er zijn nu ook meerdere topics parallel over collatz bijvoorbeeld zelfde probleem.

[HansH]

Juist! Het principe is heel eenvoudig: als twee personen op dezelfde plaats starten en op dezelfde plaats weer samenkomen, bepaalt de lengte van hun wereldlijnen wie er ouder of jonger wordt. De persoon met de langste wereldlijn heeft de meeste eigentijd ervaren en is daarom ouder, terwijl degene met de kortere wereldlijn minder eigentijd ervaart en dus jonger is. Hierbij maakt het niet uit wie versnelt of vertraagt; dat kan ingewikkeld zijn om exact te berekenen, maar het resultaat volgt altijd uit de geometrie van de wereldlijnen.

De tweeling paradox was al een aantal berichten geleden goed uitgelegd en duidelijk. Het ging op dit punt alleen nog over versnellende waarnemers en hoe/of je een ruimtetijd diagram kunt tekenen voor een niet versnellende waarnemer gezien vanuit het frame van de versnellende waarnemer. of dat het misschien zelfs niet mogelijk is om te spreken over 'niet versnellende waarnemer gezien vanuit het frame van de versnellende waarnemer' En de opmerking van flappelap over het optreden van een horizon die voor een versnellende waarnemer ergens gaat optreden.

[wnvl1]

Mijn antwoord was specifiek gericht op de eerdere post van regor. Maar ik zal jouw vraag over hoe je een ruimtetijd diagram kunt tekenen voor een niet versnellende waarnemer gezien vanuit het frame van de versnellende waarnemer.

Om een stilstaaande waarnemer te beschrijven vanuit het frame van een versnellende waarnemer, moeten we rekening houden met het feit dat het versnellende frame niet-inertiaal is. In niet-inertiale frames werkt de standaard speciale-relativiteitstransformatie (Lorentz-transformatie) niet direct.

Stel dat de versnellende waarnemer een constante eigenversnelling \(a\) ondergaat langs de \(x\)-as. Dit kan worden beschreven met de zogenaamde Rindler-coördinaten \((\tau, \xi)\), die samenhangen met de inertiale coördinaten \((t, x)\) volgens:

\[
ct = \xi \sinh\left(\frac{a \tau}{c}\right), \quad x = \xi \cosh\left(\frac{a \tau}{c}\right)
\]

Hierbij is \(\tau\) de eigentijd van de versnellende waarnemer en \(\xi\) de positie in het versnellende frame. In dit frame staat de versnellende waarnemer stil bij \(\xi = c^2 / a\).

Een waarnemer die in het inertiaalframe stilstaat op \(x = X_0\) heeft in het inertiaalframe:

\[
x(t) = X_0, \quad y(t) = \text{const}, \quad z(t) = \text{const}.
\]

Om deze stilstaande waarnemer te beschrijven vanuit het versnellende frame, gebruiken we de inverse Rindler-transformatie:

\[
\xi = \sqrt{x^2 - c^2 t^2}, \quad \tau = \frac{c}{a} \, \text{arctanh}\left(\frac{ct}{x}\right).
\]

Voor de stilstaande waarnemer wordt dit:

\[
\xi(t) = \sqrt{X_0^2 - c^2 t^2}, \quad \tau(t) = \frac{c}{a} \, \text{arctanh}\left(\frac{ct}{X_0}\right).
\]

Hieruit blijkt dat de stilstaande waarnemer in het versnellende frame niet stilstaat, maar een beweging maakt waarbij \(\xi\) afneemt naarmate de tijd vordert. Naarmate \(t \to X_0 / c\), nadert \(\xi \to 0\), wat de zogenaamde Rindler-horizon is. Vanuit het versnellende frame lijkt de stilstaande waarnemer dus te vertragen en nooit voorbij de horizon te komen.

Fysisch gezien ervaart de versnellende waarnemer een effect dat vergelijkbaar is met een uniform zwaarteveld. Vanuit dat frame lijkt de stilstaande waarnemer in dit “gravitatieveld” te vallen. Dit verklaart ook waarom sommige gebeurtenissen in het inertiaalframe voor de versnellende waarnemer onzichtbaar of onbereikbaar zijn.