spacetime-interval gebruiken bij tweelingparadox?

[wnvl1]

Nee achteruit gaan in de tijd gaat niet, want dan moet je zelf ouder licht gaan inhalen.

[HansH]

Dat hangt ervan af hoe je de lengte definieert. Ik definieer ze als

\[
\tau = \int \sqrt{dt^2 - \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{c^2}}
\]

en waar integreer je dan over?
\[
\tau = \int \sqrt{dt^2 - \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{c^2}}{d......} ?
\]

[wnvl1]

De integraal wordt genomen langs de wereldlijn van het object. Dat betekent dat men de ruimtelijke coördinaten uitdrukt als functies van een parameter, bijvoorbeeld de coördinaattijd \(t\):

\[
x = x(t), \qquad y = y(t), \qquad z = z(t).
\]

Wanneer je deze parametrisatie invult, kan je de integraal schrijven als een integraal over \(t\). Dan volgt

\[
\tau = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 - \frac{v(t)^2}{c^2}}\, dt,
\]

waarbij de snelheid gegeven is door

\[
v(t)^2 = \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2.
\]