Fermat1637's "prachtige bewijs" - een exegese

[Professor Puntje]

Klopt het dat motief1 voor de even getallen enkel geldt voor viervouden (getallen van de vorm 4k)
en dat er eigenlijk ook een motief1 voor de even getallen van de vorm 4k+2 bestaat nl:

\( (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(3)}_e \circ T)(a)\)

\( (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(3)}_e \circ T)(a)\) als k oneven is
\( (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(4)}_e \circ T)(a)\) als k even is

Zo is die op de schets van Fermat1637 in elk geval gedefinieerd, met als domein de viervouden en oneven getallen. Omdat we - voor zover ik weet - van Fermat1637 nooit hebben mogen vernemen wat motief1 nu eigenlijk voorstelt is het lastig om te zeggen wat een juiste motief1 zou zijn voor de voor de even getallen die geen viervouden zijn.

[Gast]

@Evilbro, pp, WillemB en Vijv,

Ik heb gezegd vergeet de getallen 2(mod 4), maar u weigert dat, dan moet u niet huilen als u vastloop.
U gaat achter Evilbro aan die zegt dat er een isomorfe afbeelding bestaat tussen Collatz-oneven getallen en motief1, nee er is geen bijectieve afbeelding te vinden tussen die twee.


Waarom blijft u aanmodderen?

[WillemB]

@Evilbro, pp, WillemB en Vijv,

Ik heb gezegd vergeet de getallen 2(mod 4), maar u weigert dat, dan moet u niet huilen als u vastloop.

Waarom blijft u aanmodderen?

Als je bewijs goed in elkaar zit, moet mod 2 ergens er uit vallen, ze zijn er gewoon, en...

volgens mij zijn even getallen mod 2 =0 en oneven mod 2 <>0 en viervouden zijn mod 4 = 0

[Gast]

@Evilbro, pp, WillemB en Vijv,

Ik heb gezegd vergeet de getallen 2(mod 4), maar u weigert dat, dan moet u niet huilen als u vastloop.

Waarom blijft u aanmodderen?

Als je bewijs goed in elkaar zit, moet mod 2 ergens er uit vallen, ze zijn er gewoon, en...

volgens mij zijn even getallen mod 2 =0 en oneven mod 2 <>0 en viervouden zijn mod 4 = 0

Blijft u nu aanmodderen?

[WillemB]

Blijft u nu aanmodderen?

a=aanmodderen, invullen in motief(a)= nog meer modder, nu snap ik wat je bedoelt. mooie wiskunde.

[Professor Puntje]

Heb net EvilBro's afleiding herschreven in een voor mij begrijpelijker vorm, en dan komt het er - als ik onderweg geen foutje gemaakt heb - op neer dat:

\( \mbox{K}^{(2)}(a^*) = 4^m \cdot ( \mbox{motief1}(a) )^* \) waarbij m dan de bekende maximale exponent uit motief1 is.

Deze relatie moet betrekkelijk eenvoudig te controleren zijn.

[EvilBro]

Klopt het dat motief1 voor de even getallen enkel geldt voor viervouden (getallen van de vorm 4k)
en dat er eigenlijk ook een motief1 voor de even getallen van de vorm 4k+2 bestaat

Nee, want:

\(6 (4 k + 2) + 4 = 24 k + 12 + 4 = 24 k + 16 = 4 (6 k + 4)\)

Geen van de getallen met de vorm 4k+2 in het 'V-domein' zou dus ooit de eerste van de vorm 6k+4 boven een oneven getal in het 'Collatz-domein'. Ze zijn voor de structuur niet interessant. Net zomin als de even getallen interessant zijn in de Collatz-boom. Net zomin als de oneven 3-tallen in de Collatz-boom interessant zijn (die hebben immers geen verdere vertakkingen). Je hoeft ze dus helemaal niet te hebben. Er is niets mis met het domein dat Gast geeft.

@EvilBro Mijn bedoeling was om een direct verband te vinden tussen Fermat1637's versie van de Collatz-rij en zijn motief1 (zie plaatje hieronder), maar gezien je formules vraag ik mij af of dat wel kan?

motief1 werkt op getallen in het 'V-domein'. Aan mijn uitwerking kun je zien dat motief1 gelijk is aan een transformatie + Collatz-stappen + een terugtransformatie. Het 'Collatz'-getal waar vandaan de terugtransformatie moet plaatsvinden hoeft niet in de Collatz-rij te zitten die in het plaatje staat (hij zit natuurlijk wel in een rij, maar misschien niet in de rij die je nu bekijkt). Dit komt doordat de stap voor een even getal meteen springt naar het oneven getal waarop je uitkomt na alle factoren 2 te hebben weggedeeld.
Bekijk bijvoorbeeld de Collatz-rij voor 52:
52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5
Met de alternatieve representatie van fermat1637 (die uit het plaatje) blijft hiervan over:
52 -> 13 -> 40 -> 5
'52' is equivalent aan 8 in het 'V-domein' (want 6*8 + 4 = 52)
motief1(8) = 1
'1' in het 'V-domein' is equivalent aan 10 in het Collatz-domein.
Zoals je kunt zien zit 10 niet in de fermat1637 rij.

U gaat achter Evilbro aan die zegt dat er een isomorfe afbeelding bestaat tussen Collatz-oneven getallen en motief1, nee er is geen bijectieve afbeelding te vinden tussen die twee.

Er is een bijectieve afbeelding te vinden tussen de getallen in het 'V-domein' en de (relevante) oneven Collatz-getallen, want:
Van V naar oneven:

\(O(v) = \left\{\begin{array}{cc} \frac{3 \cdot v + 2}{2} & v = 0 \mod 4 \\ 3 \cdot v + 2 & v = 1 \mod 2 \end{array}\right.\)

En van oneven naar V:

\(V(o) = \left\{\begin{array}{cc} \frac{2 \cdot o - 2}{3} & o = 1 \mod 6 \\ \frac{o - 2}{3} & o = 5 \mod 6 \end{array}\right.\)

Motief1 in het 'V-domein' is dus equivalent met de functie die het volgende oneven getal geeft in het 'Collatz-domein'.

[R_Bena]

Voor de intellectueel wat minder bedeelden, en om een recapitulatie van zaken te geven: wat is tot nu toe de conclusie?

[Gast]

Mooi werk Evilbro.

Maar nu even het volgende,
Waar ik bezwaar tegen maakte was dat de rij oneven Collatz getallen 1-1duidig afgebeeld zou kunnen worden op de V-getallen uit mijn Motief1. En dat is dus niet zo.

U praat nu over relevante oneven getallen.

Als we kijken naar relevante getallen in diverse systemen, dan klopt uw verhaal wel.
Ik noem het de representanten van de betreffende verzamelingen.

Zo kan er gekeken worden naar de representanten in oneven getallen van Collatz, de representanten van de even getallen van Collatz en mijn V getallen de 4-vouden en oneven getallen.
Tussen deze drie bestaan bijectieve afbeeldingen.

Nu kunnen we kiezen in welk systeem je verder gaat kijken.

Ik heb voor alle drie de motieven 1 en 2 afgeleid en ben verder gegaan met motief1 en motief2 van mijn V-getallen.

Hierin heb ik bewezen dat alle alle trajecten naar 0 gaan en dus de trajecten van de representanten in oneven Collatz getallen naar 1 gaan en de representanten van even Collatz getallen naar 4.

Dus ik claim nog steeds Collatz te hebben opgelost.

[EvilBro]

Je post dus twee rijtjes en dan hoop je dat je daarmee wegkomt?

Beginnende met de dooddoener: Natuurlijk is er een bijectie mogelijk tussen jouw V-getallen en de oneven Collatz-getallen. Dit kan niet anders (aangezien beide een oneindige partitie van de natuurlijke getallen zijn). Maar goed, dat is natuurlijk flauw...

Laten we dan eens kijken naar het begin van jouw V-rij: 20
Naar welk oneven Collatz-getal transformeert dit V-getal? 31.
Kunnen we die waarde terugvinden in de Collatz-rij? Zeker, maar jij hebt besloten die wat lager te plaatsen dan het begin. Had je dat niet gedaan dat had je op elke volgende regel een match gehad.
En 41 dan? Wat is daar het V-equivalent van? 13. Die ben je voor het 'gemak' even helemaal vergeten...
Ik meld hier 27 expres niet omdat ik nog steeds hoop dat iemand opmerkt dat de oneven 3-tallen uit het Collatz-domein niet gerepresenteerd worden in het V-domein
Dan kom je nog op de proppe met dat je bij \(\frac{a - 1}{2}\) begint met motief1. Dat komt bij 27 leuk uit, maar dezelfde strategie zou bij, bijvoorbeeld, 661 onzin opleveren.
oneven Collatz: 661 -> 31 -> 47 -> ...
V-strategie: (661-1)/2 = 330... dat is een even getal, maar geen viervoud. Kortom daar kun je motief1 niet op loslaten.

Als we kijken naar relevante getallen in diverse systemen, dan klopt uw verhaal wel.

Ofwel, motief1 is volledig overbodig en werkt, zoals al diverse malen is gezegd, alleen maar als stoorzender.

[vijv]

Bekijk bijvoorbeeld de Collatz-rij voor 52:
52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5
Met de alternatieve representatie van fermat1637 (die uit het plaatje) blijft hiervan over:
52 -> 13 -> 40 -> 5
'52' is equivalent aan 8 in het 'V-domein' (want 6*8 + 4 = 52)
motief1(8) = 1
'1' in het 'V-domein' is equivalent aan 10 in het Collatz-domein.
Zoals je kunt zien zit 10 niet in de fermat1637 rij.

Er is bij mij nu even verwarring over de V verzameling.
Dat is toch het beeld van N onder de afbeelding x-> a=(x-4)/6 met y a oneven of viervoud?
En we starten motief1 in die verzameling,

Fermat kan je dit bevestigen?

[Gast]

Je post dus twee rijtjes en dan hoop je dat je daarmee wegkomt?

Beginnende met de dooddoener: Natuurlijk is er een bijectie mogelijk tussen jouw V-getallen en de oneven Collatz-getallen. Dit kan niet anders (aangezien beide een oneindige partitie van de natuurlijke getallen zijn). Maar goed, dat is natuurlijk flauw...

Laten we dan eens kijken naar het begin van jouw V-rij: 20
Naar welk oneven Collatz-getal transformeert dit V-getal? 31.
Kunnen we die waarde terugvinden in de Collatz-rij? Zeker, maar jij hebt besloten die wat lager te plaatsen dan het begin. Had je dat niet gedaan dat had je op elke volgende regel een match gehad.
En 41 dan? Wat is daar het V-equivalent van? 13. Die ben je voor het 'gemak' even helemaal vergeten...
Ik meld hier 27 expres niet omdat ik nog steeds hoop dat iemand opmerkt dat de oneven 3-tallen uit het Collatz-domein niet gerepresenteerd worden in het V-domein
Dan kom je nog op de proppe met dat je bij \(\frac{a - 1}{2}\) begint met motief1. Dat komt bij 27 leuk uit, maar dezelfde strategie zou bij, bijvoorbeeld, 661 onzin opleveren.
oneven Collatz: 661 -> 31 -> 47 -> ...
V-strategie: (661-1)/2 = 330... dat is een even getal, maar geen viervoud. Kortom daar kun je motief1 niet op loslaten.

Als we kijken naar relevante getallen in diverse systemen, dan klopt uw verhaal wel.

Ofwel, motief1 is volledig overbodig en werkt, zoals al diverse malen is gezegd, alleen maar als stoorzender.

Beste Evilbro,
U laat duidelijk zien dat u de motieven 1 en 2 van de 3 systemen nog niet begrijpt.
En dat u daarom geen bewijs kan leveren dat Collatz naar 1 divergeert.
Ik heb voor alle 3 de systemen de motieven afgeleid.
Ik heb de zogenaamde representanten van het V-systeem aangegeven, 4-vouden en oneven getallen.
Wat zijn volgens u de representanten van de oneven collatzgetallen met een motief1 en 2?
Wat zijn volgens u de representanten van de even collatzgetallen met een motief1 en 2?

Deze gaan op gelijkwaardige wijze naar hun stabiele punten 1 en 4 als de v-getallen naar 0 gaan.

Zolang u de kracht van motief1 en motief2 in al deze systemen niet begrijpt bent u nog niet toe aan een bewijs van Collatz.

[Gast]

Bekijk bijvoorbeeld de Collatz-rij voor 52:
52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5
Met de alternatieve representatie van fermat1637 (die uit het plaatje) blijft hiervan over:
52 -> 13 -> 40 -> 5
'52' is equivalent aan 8 in het 'V-domein' (want 6*8 + 4 = 52)
motief1(8) = 1
'1' in het 'V-domein' is equivalent aan 10 in het Collatz-domein.
Zoals je kunt zien zit 10 niet in de fermat1637 rij.

Er is bij mij nu even verwarring over de V verzameling.
Dat is toch het beeld van N onder de afbeelding x-> a=(x-4)/6 met y a oneven of viervoud?
En we starten motief1 in die verzameling,

Fermat kan je dit bevestigen?

Dit moet u vragen aan de genen die dit beweren!

[vijv]

Fermat,

De vraag is hoe jij dit oorspronkelijk hebt bedoeld.

[Gast]

Fermat,

De vraag is hoe jij dit oorspronkelijk hebt bedoeld.

Vijv, graag een duidelijker vraag stellen over mijn methode!