Veralgemeende Collatz rij

[Regor]

Voor de diehards !

twee algoritmes
Als "n" is oneven .... dan is het volgende getal in de rij (a.n + b)
Als het startgetal of een getal in de rij even is .... dan is het volgende getal dag getal /2

Claim:
Voor alle natuurlijke getallen "n" geldt dat de rij enkel leidt tot de lus 1/4/2/1 als "a" =3 en "b" = 1

[EvilBro]

a=b=2...

[Regor]

@elviBro,

Of course.

Effen aanpassen:

twee algoritmes
Als "n" is oneven .... dan is het volgende getal in de rij (a.n + of - b) ..... waarbij (a.n + of - b) = even
Als het startgetal of een getal in de rij even is .... dan is het volgende getal dat getal /2

[Regor]

En "a "niet gelijk aan "b"
En "a" en "b" oneven.

[Regor]

De correcties stapelen zich op !

Lees niet eindigen op de lus 1/4/2/1 .....maar elke rij leidt tot 1

[Regor]

En nu eens hopelijk juist de topic formuleren.

Voor de diehards !

twee algoritmes
Als "n" is oneven .... dan is het volgende getal in de rij (a.n + b)
Als het startgetal of een getal in de rij even is .... dan is het volgende getal dag getal /2

Voorwaarden:
a niet gelijk aan b
a en b beiden oneven.

Claim:
Voor alle natuurlijke getallen "n" geldt dat de rij enkel leidt tot de lus 1/4/2/1 als "a" =3 en "b" = 1
Voor alle rijen volgens de twee algoritmes en de voorwaarden leidt de rij nooit naar 1 ..... en leidt vrij snel (niet wiskundige term, sorry) tot een lus voor een getal niet gelijk aan 1.

[RedCat]

Om op de lus 1-4-2 uit te komen, moet n=1 afgebeeld worden op 4:
a*1 + b = 4
en dan moet
b = 4 - a

Voorbeelden:

De klassieke Collatz formule:
a=3, b=1, n=7:
7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 ...

Maar ook:
a=1, b=3, n=7:
7 10 5 8 4 2 1 ...

en indien u negatieve waarden van b toestaat:
a=5, b=-1, n=7:
7 34 17 84 42 21 104 52 26 13 64 32 16 8 4 2 1 ...

a=7, b=-3, n=10:
10 5 32 16 8 4 2 1 ...

[Regor]

@RedCat,

Maar dat is niet voor alle natuurlijke getallen "n" hoor !!!

[Regor]

@RedCat,

Sorry, ik ben maar een amateur, en dan nog op een zwak moment.

Lees voor elke n ..........in een eindlus komen van 1 / (a.1 + b) / (a.1 +b ) : 2 / ......... 1 / (a.1 +b ) ..... 1 enz in plaats van 1/4/2/1 !
Dit is natuurlijk maar voor a = 3 en b = 1 (De Collatz rij)

[Regor]

@RedCat,

Wat ik eindelijk bedoel is dat de Collatz rij de enige rij is die voor elke "n" leidt tot 1 . met a = 3 en b = 1
De claim is dat dat koppel a=3 en b=1 het enige koppel is die steeds tot 1 leidt.
Welteverstaan dat a niet gelijk is aan b en a en b twee oneven getallen zijn.

Ben benieuwd als dat kan bewezen worden ..... als Collatz als zo moeilijk te bewijzen is.
Toch zit er misschien een mogelijkheid in om via te bewijzen dat er anders altijd lussen ontstaan ...... tenzij voor het het koppel a= 3 , en b =1

[Regor]

@RedCat,

Wellicht "einde topic" ?

@PP,

Als U wilt, effen mijn voorlaatste post lezen aub .... onbewezen akkoord ermee ?

[RedCat]

Wat ik eindelijk bedoel is dat de Collatz rij de enige rij is die voor elke "n" leidt tot 1 . met a = 3 en b = 1
De claim is dat dat koppel a=3 en b=1 het enige koppel is die steeds tot 1 leidt.

... volgens het vermoeden.

Ben benieuwd als dat kan bewezen worden ..... als Collatz als zo moeilijk te bewijzen is.
Toch zit er misschien een mogelijkheid in om via te bewijzen dat er anders altijd lussen ontstaan ...... tenzij voor het het koppel a= 3 , en b =1
...
Wellicht "einde topic" ?

Nog niet het einde: ik zal er komend weekend nog verder naar kijken.
Hier al vast wat eerste resultaten:

x-as: de indexgetallen i voor de elementen \(n_i\) van de Collatz rij
y-as: \(\log_2(n_i)\) ofwel \(n_i = 2^y\) (voorbeeld: y=100 komt overeen met \(n_i = 2^{100} \approx 1.298\cdot10^{33}\))

a=3, b=1 geeft voor startgetal n[0]=105:
105, 316, 158, 79, 238, 119, 358, 179, 538, 269, 808, 404, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, [4, 2, 1], 4, ...
Hier komen we uit op de 1-4-2 eindlus (luslengte = 3)

a=5, b=1 geeft voor n[0]=105:
105, 526, 263, 1316, 658, 329, 1646, 823, 4116, 2058, 1029, 5146, 2573, 12866, 6433, 32166, 16083, 80416, 40208, 20104, 10052, 5026, 2513, 12566, 6283, 31416, 15708, 7854, 3927, 19636, 9818, 4909, 24546, 12273, 61366, 30683, 153416, 76708, 38354, 19177, 95886, 47943, 239716, 119858, 59929, 299646, 149823, 749116, 374558, 187279, 936396, 468198, 234099, 1170496, 585248, 292624, 146312, 73156, 36578, 18289, 91446, 45723, 228616, 114308, 57154, 28577, 142886, 71443, 357216, 178608, 89304, 44652, 22326, 11163, 55816, 27908, 13954, 6977, 34886, 17443, 87216, 43608, 21804, 10902, 5451, 27256, 13628, 6814, 3407, 17036, 8518, 4259, 21296, 10648, 5324, 2662, 1331, 6656, 3328, 1664, 832, [416, 208, 104, 52, 26, 13, 66, 33, 166, 83], 416, ...
Hier komen we uit op een 13-66-33-166-83-416-208-104-52-26 eindlus (luslengte=10)

Voor de andere 2 rijen heb ik in dit gebied geen lussen gevonden.


Eindlussen:
Als a=3, b=1 eindigen alle getallen n[0] = 1 t/m 250 met de 1-4-2 lus (=de n[0]=1 lus)
Voor a=5, b=1 vind ik in dit interval 3 mogelijke eindlussen:
- n[0]=1: [1, 6, 3, 16, 8, 4, 2], 1, ...
- n[0]=13: [13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26], 13, ... (hier komt bovenstaande n[0]=105 op uit)
- n[0]=17: [17, 86, 43, 216, 108, 54, 27, 136, 68, 34], 17, ...
Voor (a=9, b=1) en (a=13, b=1) kom ik in dit interval geen eindlussen tegen.

[Regor]

@RedCat,

Dank u,
Maar ik begrijp uw aanpak niet zo goed (ligt aan mij)
Het gaat er dus om te bewijzen dat voor elk algoritme koppel oneven getallen ......de rij niet leidt / kan leiden tot 1 . tenzij voor het koppel a = 3 , b=1

Als voor een willekeurig natuurlijk getal (met een gekozen koppel a' en b' een lus voorkomt voldoet die rij niet.

p. s. Voor de eenvoud is voor mij een lus ........ als een getal voorkomt die al "in de rij" of "als startgetal" is voorgekomen.

[Gast]

@Regor,

Als je Collatz algemeen wil maken moet je indien a=5 en b=1, niet alleen de factoren 2 wegdelen maar ook de factoren 3.
Dan gaat dit proces ook weer altijd naar 1.

[Regor]

@Fermat,

Oei, een bekende aan de lijn !

Delen door 3 staat niet in het tweede algoritme.
Bedoelt U dat het tweede algoritme dan zou moeten zijn ..... deel door 2 of deel door 3 ?