Klopt dit model?

[PhilipVoets]

Dag,

Graag jullie gedachten/kritische blik bij het volgende: ik wil modelleren hoe de concentratie van natrium in het bloed ([Na⁺]) verandert in de tijd na kristalloïd infuus. Dat gaat in twee fasen: eerst is er een eenvoudige herverdeling van infuus over het lichaamswater, waardoor de natriumconcentratie verandert, en daarna gaan de nieren ermee aan de slag, waardoor enkele uren later de natriumconcentratie verder verandert. Voor beide fasen bestaan reeds gevalideerde formules, respectievelijk y₁ en y₂ (zie bijlage). Om dit proces in één model te vangen, had ik bedacht gebruik te maken van een hybride temporeel model, waarbij geldt:

Δ[Na⁺](t) = (1 - ω(t))y₁ + ω(t)y₂

Waarbij geldt: ω(t) = 1/(1 + exp(-k(t - t₀))), waarbij k een constante is en t₀ het "inflectiepunt" (hier geschat op ongeveer t₀ = 5 uur), waarbij het ene model in het andere overgaat.
Is deze manier van modelleren wiskundig gezien correct? Ik heb een korte samenvatting in de bijlage toegevoegd (één minuut leestijd).

H. gr. en dank bij voorbaat,
Philip Voets

[HansH]

Ik zie 2 mechanismen:
1) menging door simpel rondpompen
2) afvangen en verwijderen via de nieren.

Ik neem aan dat de nieren geen informatie hebben over het mengen. Die zien alleen een concentratie ter plekke en halen er een hoeveelheid natrium uit per tijdseenheid als functie van die concentratie. Dus heb je te maken met een concentratie voor de nieren en erna iets afgenomen. Bij het toedienen is er dus een concentratie verhoging op de plek van inbrengen die zich dan verplaatst richting nieren. Dat zal dan ook een concenttatie verhoging geven bij de nieren en dus meer afvang bij de nieren.

voor het totaal zou je dan de vergelijkingen moeten opschrijven voor beide effecten zoals die gelden ter plekke van de nieren. En dan proberen samen te voegen.

[jkien]

Wiskundig gezien lijkt het me correct, je combineert twee modellen op een vloeiende manier zonder wiskundige complicaties te introduceren.

Maar de definitie van sommige variabelen is wiskundig onduidelijk. Wat is Δ[Na+], is dat de cumulatieve verandering t.o.v. een beginwaarde van [Na+]? Die beginwaarde van [Na+] ontbreekt als variabele in het model. Hoe moet de gecombineerde functie Δ[Na+] er eigenlijk uit gaan zien? Begint die functie op nul, stijgt dan naar een maximum, en eindigt tenslotte weer op nul?

[PhilipVoets]

Dank voor de snelle reacties! Korte toelichting: de parameter Δ[Na+] is de uiteindelijke verandering van de plasmanatriumspiegel t.o.v. de uitgangsnatriumspiegel en een belangrijke voorspeller van neurologische complicaties. Er bestaan momenteel twee veelgebruikte vergelijkingen om te kijken wat die natriumspiegel doet na kristalloïd infuus; de eerste (y1) beschrijft de directe Δ[Na+] nadat een infuus is toegediend door herverdeling van water en zout en de tweede (y2) beschrijft het eindresultaat nadat de nieren ermee aan de slag zijn gegaan. Voor de voorspellingen van y2 (een netto-eindresultaat) is het feitelijk irrelevant of de natriumspiegel bijvoorbeeld eerst kortdurend stijgt (zoals y1 beschrijft); de voorspellingen van y2 vinden immers plaats puur o.b.v. uitgangs-[Na+] (voor infuus), type en hoeveelheid infuus en nog wat aanvullende parameters. Het is m.i. dus niet zo dat de aanvankelijke tussentijdse [Na+]-stijging (zoals beschreven door y1) meegenomen moet worden in de voorspellingen van y2, omdat die zich puur op de uitgangs-[Na+] voor infuus baseert en niet op een tussentijdse [Na+](t). Dat maakt e.e.a. wat makkelijker te vangen.
Wat ik dus feitelijk wil modelleren is dat in de loop van de tijd de voorspelde Δ[Na+] niet constant is; meet je die bijvoorbeeld een halfuur nadat het infuus erin zit, dan krijg je bijvoorbeeld een stijging van [Na+] t.o.v. uitgangs-Δ[Na+], maar meet je na zes uur, dan kan het best zijn dat er juist uiteindelijk een daling heeft plaatsgevonden (e.g., doordat de nier zout uitscheidt en water vasthoudt, maar dit terzijde). Het doel is dus een wiskundig vloeiend en plausibel verloop modelleren tussen de voorspelling van y1 (geschikt voor de fase direct na infuustoediening) en de voorspelling van y2 (geschikt voor enkele uren na infuustoediening, als de nieren ermee klaar zijn), waarbij y1 en y2 dus i.p. onafhankelijk van elkaar zijn en zich beiden baseren op de uitgangs-[Na+] en "niets met elkaar te maken hebben". In het model in de bijlage zit de uitgangs-[Na+] overigens in beide formules gewoon en het nettoresultaat mag zowel stijging als daling als neutraal zijn, daar zitten geen voorwaarden aan. Ik wil enkel in de loop van de tijd vloeiend van y1 naar y2, die onderling onafhankelijk zijn en beiden hun voorspellingen enkel doen o.b.v. de "pre-infuus-parameters".
Klopt het model dan?

[ukster]

Reactie van ScienceOS op het plaatsen van je vraag en bijlage.

##Conclusie
De gekozen wiskundige structuur is een elegante manier om een continu model te verkrijgen dat twee verschillende fysiologische processen verbindt. De validiteit hangt in sterke mate af van de vraag of de fysiologische overgang tussen herverdeling en nierrespons inderdaad een geleidelijk proces is dat zich laat beschrijven door een logistische functie, of dat een abruptere overgang de werkelijkheid beter benadert.

Indien je over data beschikt (bijvoorbeeld tijdreeksen van natriumconcentraties bij patiënten), zou je k en t₀ kunnen fitten aan deze data om te zien of de "soft switch" inderdaad een betere fit geeft dan een abrupte (stuksgewijze) overgang.

Ik hoop dat deze verdiepende blik helpt bij de verdere ontwikkeling van je model. Mocht je nog vragen hebben over de implementatie of interpretatie, laat het gerust weten.

[PhilipVoets]

Reactie van ScienceOS op het plaatsen van je vraag en bijlage.

##Conclusie
De gekozen wiskundige structuur is een elegante manier om een continu model te verkrijgen dat twee verschillende fysiologische processen verbindt. De validiteit hangt in sterke mate af van de vraag of de fysiologische overgang tussen herverdeling en nierrespons inderdaad een geleidelijk proces is dat zich laat beschrijven door een logistische functie, of dat een abruptere overgang de werkelijkheid beter benadert.

Indien je over data beschikt (bijvoorbeeld tijdreeksen van natriumconcentraties bij patiënten), zou je k en t₀ kunnen fitten aan deze data om te zien of de "soft switch" inderdaad een betere fit geeft dan een abrupte (stuksgewijze) overgang.

Ik hoop dat deze verdiepende blik helpt bij de verdere ontwikkeling van je model. Mocht je nog vragen hebben over de implementatie of interpretatie, laat het gerust weten.

Dank, klinkt alsof ik redelijk "warm" zit. Zoals met vrijwel alle biologische/fysiologische processen is ook de overgang tussen herverdeling en nierrespons een geleidelijk fenomeen en niet abrupt. Wat dat betreft dus geen zorgen.
Nogmaals, omdat y1 en y2 onafhankelijk van elkaar zijn en allebei hun voorspellingen doen o.b.v. dezelfde "pre-infuus-natriumuitgangswaarde" beïnvloedt y1 hier y2 dus niet en dus denk ik dat mijn model redelijk klopt. Ik sta echter open voor alle kritiek!

[wnvl1]

Dit is een empyrisch fittingsmodel, maar ik vind dat geen fysica. Met een logistische overgangsfunctie kan men in principe vrijwel elk geleidelijk verloop tussen twee modellen construeren. Wiskundig is dat perfect legitiem, maar de vraag is of de gekozen overgang ook een onderliggend fysiologisch mechanisme weerspiegelt. Een meer fundamenteel model zou idealiter vertrekken vanuit de dynamica van water- en natriumcompartimenten, nierclearance en hormonale regulatie, waardoor de overgang tussen beide fasen als een natuurlijk gevolg van de vergelijkingen ontstaat en niet wordt opgelegd via een arbitraire schakelingsfunctie.

[PhilipVoets]

Dag,

Ik snap je punt geheel. De formules y1 en y2 zelf zijn wel afgeleid op fysiologische gronden (y2 neemt de volledige nierklaring mee), maar een dynamisch model zoals jij suggereert zou heel veel complexiteit introduceren versus heel weinig additionele accuratesse. Met die trade-off in het achterhoofd lijkt het logischer om twee reeds gevalideerde modellen wiskundig aan elkaar te schakelen. Een “smooth transition model” is hier fysiologisch prima te verdedigen.

[PhilipVoets]

Op derde pagina even een concreet rekenvoorbeeld, uitgewerkt in Desmos. Resultaten zijn klinisch-fysiologisch plausibel/"logisch" (gelukkig). Lijkt me een leuke voor een online klinische rekentool; het moet ook voor de "clinicus practicus" meerwaarde hebben en niemand gaat op de SEH zelf ellenlange e-machten narekenen.

[PhilipVoets]

Ik heb het resultaat van het model in de bijlage overigens vereenvoudigd en herschreven tot:

Klopt dit? Ik neig naar ja, maar even dubbelchecken.
Kleine noot: de 0,3 hier is quick-and-dirty 1/3,4.

[HansH]

Dag,

Ik snap je punt geheel. De formules y1 en y2 zelf zijn wel afgeleid op fysiologische gronden (y2 neemt de volledige nierklaring mee), maar een dynamisch model zoals jij suggereert zou heel veel complexiteit introduceren versus heel weinig additionele accuratesse. Met die trade-off in het achterhoofd lijkt het logischer om twee reeds gevalideerde modellen wiskundig aan elkaar te schakelen. Een “smooth transition model” is hier fysiologisch prima te verdedigen.

Het punt bij dit soort versimpelingen is altijd de vraag: hoe kom je erachter of de versimpeling aanvaardbaar is? Je zou dan toch het meer volledige model moeten vergelijken met de versimpelde versie en dan op basis daarvan concluderen of de versimpeling wel of niet aanvaardbaar is. Als het aanvaardbaar is dan kun je verder het simpeler model gebruiken.

[PhilipVoets]

Dat is inderdaad het plan, validatie o.b.v. patiëntendata uit de kliniek. Voor nu was de vraag of de algebraïsche vereenvoudiging correct was uitgevoerd.