Toepassing van evenwicht in de ART

[wnvl1]

Nee, ik begreep dat wel. Het waren de leden uit Nederland die dat ondersheid niet kenden. Situatie 1 is antiparallel en de draairichting staat loodrecht op de rechte door de middelpunten van de bollen. Situatie 2 is antiparallel en de draairichting is evenwijdig met de rechte door de middelpunten van de bollen.

[Regor]

@wnvl1,

Oh ja, de Nederlanders !
Maar ok .... geeft de situatie 2 ook aanleiding tot een (weliswaar uiterst kleine) afstoting van de bollen ?

[wnvl1]

Is er een afstotende kracht in situatie 2 ook ?

In situatie 2 zou je een extra aantrekking krijgen. Als je de bollen in dezelfde richting zou laten draaien zou je een afstoting krijgen.

Waar antiparallelle spins op de verbindingslijn in het gewone magnetisme zorgen voor afstoting (omdat gelijke polen elkaar aankijken), zorgt de 'spin-spin-koppeling' in het gravitomagnetisme bij antiparallelle spins op de verbindingslijn juist voor een extra aantrekking.

De wiskunde is heel gelijklopend met magnetisme, maar er is een verschil in teken; daarmee dat aantrekking en afstoting omgekeerd zijn in vergelijking met magnetisme.

De naam gravitomagnetisme is echt heel goed gekozen omdat de fysica in eerste benadering heel gelijklopend is met magnetisme.

[Regor]

@wnvl1,

Ok laat in situatie de bollen dan in dezelfde richting draaien ....... hoe groot moet de hoeksnelheid zijn in situatie 2 opdat de aantekkings kracht zou gecompenseerd zijn ?

Intuitief denk ik dat de hoeksnelheid voor evenwicht in geval 1 en 2 (met gelijke draaizin), niet gelijk zijn !
.............
Wat de naamgeving betreft, helemaal niet mee eens ........
Trouwens als er zoveel wiskundige gelijkenissen zijn met het electro- magnetisme ..... moeten beide krachten wiskundig toch vrij eenvoudig te verenigen zijn ....... stel je voor wat ik durf denken !

[wnvl1]

Wat de naamgeving betreft, helemaal niet mee eens ........
Trouwens als er zoveel wiskundige gelijkenissen zijn met het electro- magnetisme ..... moeten beide krachten wiskundig toch vrij eenvoudig te verenigen zijn ....... stel je voor wat ik durf denken !

Gravitomagnetisme is slechts een onderdeel van de beschrijving van de zwaartekracht binnen de algemene relativiteitstheorie. Het beschrijft slechts een beperkt aspect van het gravitatieveld en verschijnt als een benadering in het zwakke-veld- en lage-snelheidsregime. In die benadering ontstaat, naast het gewone Newtoniaanse zwaartekrachtsveld (het gravito-elektrische deel), een bijkomend gravitomagnetisch veld dat veroorzaakt wordt door bewegende massa’s en massastromen. Je kan het echt niet gebruiken om de hele ART mee te beschrijven.

[wnvl1]

We beschouwen twee identieke homogene bollen met massa \(m\), straal \(r\) en een afstand tussen de zwaartepunten \(x\), waarbij \(x \gg r\). De rotatieassen liggen langs de verbindingslijn tussen beide zwaartepunten. De bollen draaien in tegengestelde zin zodat hun gravitomagnetische wisselwerking afstotend wordt en de Newtoniaanse gravitatie mogelijk kan compenseren.

De Newtoniaanse aantrekkingskracht bedraagt:

\[
F_N = G \frac{m^2}{x^2}
\]

Een roterende massa met impulsmoment \(J\) genereert een gravitomagnetisch dipoolmoment. Voor twee dipolen op hun gemeenschappelijke as is de grootte van de gravitomagnetische kracht:

\[
F_{GM} = \frac{6 G}{c^2}\frac{J^2}{x^4}
\]

Voor een homogene bol is het traagheidsmoment:

\[
I=\frac{2}{5}mr^2
\]

Het impulsmoment is bijgevolg:

\[
J=I\omega=\frac{2}{5}mr^2\omega
\]

Ingevuld in de gravitomagnetische kracht geeft dit:

\[
F_{GM}
=
\frac{6G}{c^2x^4}
\left(\frac{2}{5}mr^2\omega\right)^2
\]

of:

\[
F_{GM}
=
\frac{24}{25}
\frac{Gm^2r^4\omega^2}{c^2x^4}
\]

De gravitomagnetische afstoting compenseert de Newtoniaanse aantrekking wanneer:

\[
F_{GM}=F_N
\]

Dus:

\[
\frac{24}{25}
\frac{Gm^2r^4\omega^2}{c^2x^4}
=
\frac{Gm^2}{x^2}
\]

De factoren \(G\) en \(m^2\) vallen weg, zodat:

\[
\frac{24}{25}\frac{r^4\omega^2}{c^2x^4}
=
\frac{1}{x^2}
\]

Hieruit volgt:

\[
\omega^2=
\frac{25}{24}\frac{c^2x^2}{r^4}
\]

en dus:

\[
\boxed{
\omega=
\frac{5}{2\sqrt{6}}
\frac{cx}{r^2}
}
\]

Numeriek is:

\[
\frac{5}{2\sqrt{6}} \approx 1,02
\]

zodat:

\[
\omega \approx 1,02 \frac{cx}{r^2}
\]

De vereiste omtreksnelheid bedraagt:

\[
v=\omega r \approx 1,02 c \frac{x}{r}
\]

Aangezien \(x>r\) voor twee gescheiden bollen geldt:

\[
v>c
\]

Dit toont aan dat een volledige compensatie van de Newtoniaanse gravitatie door het gravitomagnetische dipool-effect niet fysisch realiseerbaar is.

[Regor]

@wnvl1,

Dank U opnieuw en opnieuw,

Verbazend dat de nodige hoeksnelheid in de situatie 1 .....zie post Ukster, waarvoor dank ........en in de situatie 2 .. volgens uw post
gelijk zijn.

Om de één af andere intuitieve reden kan ik dat niet aannemen.
In situatie 1 hebben de bollen een tegengestelde draaizin ( correct Ukster ?) ..... en in situatie 2 een gelijke draaizin !!!
Trouwens U vermeld ..... voor dipolen op dezelfde as .... maar in situatie 1 is dat. niet zo !

[Regor]

@Ukster,

Dank U,
Uw nieuwe avatar is passend bij de topic.
Wat denkt U ...... of uw kennis - bron van het feit dat de nodige hoeksnelheid in beide situaties 1 en 2 gelijk is
Kan het moeilijk (eigenlijk niet) aannemen).

[wnvl1]

Dat lijkt mij niet logisch, dat moeten we nakijken. Het zou logisch zijn dat er een verschil is.

[wnvl1]

In situatie 1 (ukster) zou de krachtwerking een factor 2 kleiner moeten zijn dan in situatie 2 (wnvl1) die ik heb berekend. De rotatiesnelheid moet dan in sitatie 1 een factor \(\sqrt{2}\) groter zijn om dat te compenseren.