Aantrekking kracht tussen sterren

[Regor]

Bij deze hittegolf vroeg ik mij het volgende af.
Iedereen kent de formule voor de aantrekking kracht tussen twee massa's "m1" en "m2" op zwaartepunt afstand "x"
Men kan deze formule toepassen met "rust massa's" "m01 en m02" maar ook met energie / temperatuur gecorrigeerde massa's
mE1 en mE2. gebruik makende van "delta m = E / c^2"

1. Kan iemand een approx berekening maken voor twee sterren zoals onze zon op een afstand 2 x zon - aarde. ( 2 x 150 miljoen km)
2. Als de aantrekkingskracht merkbaar verschilt bij energie E0 en bij energie ET en men extrapoleert naar alle (soorten) sterren in de melkweg ......... is dat mogelijks een verklaring voor de veronderstelde donkere materie die voor de onverklaarbare hogere aantrekkingskracht zou zorgen?
3. Of is daar reeds lang simulatie voor gemaakt .... en zoek ik (weer) spijkers op laag water ?

[HansH]

grove benadering:
De soortelijke warmte (warmtecapaciteit) van waterstofgas Bij kamertemperatuur bedraagt deze ongeveer \(14.300 \text{ J/(kg}\cdot\text{K)}\) (ofwel \(14,3 \text{ J/(g}\cdot\text{K)}\)).

bij hoge temperatuur zal dat wel anders worden, maar neem even voor het gemak deze waarde. Dan heb je per kg waterstof van 6000K (even aannemen dat dat de gemiddelde temperatuur is van de zon) dus 14.4kJ*6000= 8.6 E7 Joule.
met e=mc^2 kun je dat omrekenen naar massa. dat levert m=8.6 E7 /3E8^2 =9.5E-10kg dus meent de massa toe met een factor die pas op 10 decimalen achter de komma afwijkt van 1. dus verwaarloosbaar.

[wnvl1]

Als de zon op een of andere manier van haar huidige temperatuur naar 0 K zou afkoelen, zou haar aantrekkingskracht slechts met ongeveer 0,00015% afnemen. Volledig verwaarloosbaar dus.

[HansH]

Als de zon op een of andere manier van haar huidige temperatuur naar 0 K zou afkoelen, zou haar aantrekkingskracht slechts met ongeveer 0,00015% afnemen. Volledig verwaarloosbaar dus.

0,00015%=0,0000015
dan kom je een factor 10000 hoger uit dan ik (ik kwam op 10 cijfers achter de komma op iets merkbaars, jij komt op 6). Waar komt dat verschil door?

[wnvl1]

Gegeven:

\[
M_\odot = 1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}
\]

\[
m_p = 1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}
\]

\[
k = 1.380649\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}
\]

\[
c = 2.99792458\times10^8\ \mathrm{m/s}
\]

\[
T = 1.15\times10^7\ \mathrm{K}
\]

Stap 1. Aantal protonen

We benaderen de Zon als volledig bestaande uit protonen.

\[
N=\frac{M_\odot}{m_p}
\]

Invullen geeft

\[
N
=
\frac{1.989\times10^{30}}
{1.673\times10^{-27}}
=
1.189\times10^{57}.
\]

Stap 2. Totale thermische energie

Voor een ideaal gas geldt

\[
E=\frac{3}{2}NkT.
\]

Eerst berekenen we

\[
kT
=
1.380649\times10^{-23}
\times
1.15\times10^7
=
1.5877\times10^{-16}\ \mathrm{J}.
\]

Daaruit volgt

\[
NkT
=
1.189\times10^{57}
\times
1.5877\times10^{-16}
=
1.888\times10^{41}\ \mathrm{J}.
\]

Nu vermenigvuldigen met

\[
\frac{3}{2},
\]

zodat

\[
E
=
\frac{3}{2}
\times
1.888\times10^{41}
=
2.832\times10^{41}\ \mathrm{J}.
\]

Stap 3. Massaequivalent

Volgens Einstein geldt

\[
E=\Delta Mc^2.
\]

Dus

\[
\Delta M
=
\frac{E}{c^2}.
\]

Omdat

\[
c^2
=
(2.99792458\times10^8)^2
=
8.98755\times10^{16},
\]

vinden we

\[
\Delta M
=
\frac{2.832\times10^{41}}
{8.98755\times10^{16}}
=
3.151\times10^{24}\ \mathrm{kg}.
\]

Stap 4. Relatieve massaverandering

\[
\frac{\Delta M}{M_\odot}
=
\frac{3.151\times10^{24}}
{1.989\times10^{30}}
=
1.584\times10^{-6}.
\]

Als percentage is dit

\[
1.584\times10^{-6}\times100
=
1.584\times10^{-4}\%.
\]

Dus

\[
\boxed{
0.000158\%
}
\]

oftewel afgerond

\[
\boxed{
0.00015\%.
}
\]

Deze berekening is een orde-van-grootte schatting. Een nauwkeurige berekening zou rekening houden met het temperatuurprofiel, de chemische samenstelling en de werkelijke toestandsvergelijking van het plasma, maar de uitkomst blijft van dezelfde orde van grootte.

[wnvl1]

grove benadering:
De soortelijke warmte (warmtecapaciteit) van waterstofgas Bij kamertemperatuur bedraagt deze ongeveer \(14.300 \text{ J/(kg}\cdot\text{K)}\) (ofwel \(14,3 \text{ J/(g}\cdot\text{K)}\)).

bij hoge temperatuur zal dat wel anders worden, maar neem even voor het gemak deze waarde. Dan heb je per kg waterstof van 6000K (even aannemen dat dat de gemiddelde temperatuur is van de zon) dus 14.4kJ*6000= 8.6 E7 Joule.
met e=mc^2 kun je dat omrekenen naar massa. dat levert m=8.6 E7 /3E8^2 =9.5E-10kg dus meent de massa toe met een factor die pas op 10 decimalen achter de komma afwijkt van 1. dus verwaarloosbaar.

Ten eerste is de gemiddelde temperatuur van de Zon geen

\[
6000\,\mathrm{K}.
\]

Deze temperatuur geldt alleen voor het fotosfeeroppervlak. Vrijwel alle massa van de Zon bevindt zich veel dieper, waar de temperatuur miljoenen kelvin bedraagt. De massagemiddelde temperatuur ligt eerder rond

\[
10^7\,\mathrm{K}.
\]

Alleen daardoor onderschat je de thermische energie al met een factor van ongeveer

\[
\frac{10^7}{6000}\approx1700.
\]

Ten tweede is de gebruikte soortelijke warmte

\[
c_p\approx14300\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}
\]

de waarde voor moleculair waterstofgas bij kamertemperatuur.

In de Zon bestaat echter vrijwel geen moleculair waterstof. Het plasma is vrijwel volledig geïoniseerd.

Voor een ideaal monoatomisch gas geldt

\[
c_v=\frac32\frac{R}{M},
\]

wat voor geïoniseerd waterstof ongeveer

\[
1.2\times10^4\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}
\]

oplevert.

Ten derde dragen zowel protonen als elektronen bij aan de thermische energie. Daarom gebruikt men voor een nauwkeurige berekening meestal rechtstreeks

\[
E=\frac32NkT.
\]

[HansH]

Deze temperatuur geldt alleen voor het fotosfeeroppervlak. Vrijwel alle massa van de Zon bevindt zich veel dieper, waar de temperatuur miljoenen kelvin bedraagt. De massagemiddelde temperatuur ligt eerder rond

\[
10^7\,\mathrm{K}.
\]

hoe verloopt de temperatuur dan als functie van diepte? centrum is blijkbaar 15 miljoen K en oppervlak 6000.

[HansH]

[
Ten tweede is de gebruikte soortelijke warmte

\[
c_p\approx14300\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}
\]

de waarde voor moleculair waterstofgas bij kamertemperatuur.

In de Zon bestaat echter vrijwel geen moleculair waterstof. Het plasma is vrijwel volledig geïoniseerd.

Voor een ideaal monoatomisch gas geldt

\[
c_v=\frac32\frac{R}{M},
\]

wat voor geïoniseerd waterstof ongeveer

\[
1.2\times10^4\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}
\]


oplevert.

Dat is ongeveer wat ik ook had gebruikt voor waterstof bij kamertemperatuur

[HansH]

maar goed: 1000 x verwaarloosbaar is in dit geval nog steeds verwaarloosbaar.

[Regor]

@wnvl1 & HansH,

Waw, wat een deskundigheid !
En waar ik nog geen rekening mee hield in mijn verkeerde veronderstelling is de massa afname van de zon door de kernfusie !
De verwaarloosbare massa toename door energie ...... zal zeker (veronderstel ik) teniet gedaan worden door de massa omzetting nhaar energie.
Heeft iemand een idee hoeveel massa per tijdseenheid (willekeurig) omgezet wordt in energie ?
.............................
Al bij al heeft de totale energie van alle sterren in de melkweg quasi geen invloed op ,toename van de massa en onderlinge aantrekingskracht ......... zal dus toch van donkere materie moeten komen.
De totale massa vermindert wellicht door omzetting naar energie ?

[HansH]

Ik ga er eigenlijk een beetje van uit dat we iets essentieels in de begripvorming missen, maardoor we moeten grijpen naar onverklaarbare zaken als donkere materie. (wat nog nooit iemand heeft gezien en niemand snapt wat hjet is)

Het zou een verklaring moeten geven waarom de buitenkant van melkwegstyelsels veel sbneller draait dan je op grond van de aanwezige massa kunt verklaren.

[Regor]

@wnvl1 & HansH,

Na een verfrissing zou ik durven stellen dat het een nuloperatie is.
Per slot van rekening is alle energie van de zon die de aantrekkingskracht zou kunnen wijzigen (toenemen) afkomstig van kernfusie in de kern .... die massa verlies / omzetting betekend.
Het netto resultaat is wellicht nul ...........klopt dat ?

[jkien]

Heeft iemand een idee hoeveel massa per tijdseenheid (willekeurig) omgezet wordt in energie ?

De zon heeft een levensduur van 10 miljard jaar en verbrandt 10% van zijn waterstof. Bij de kernfusiereactie in de zon wordt 0,7% van de massa omgezet in energie. De massa van de zon is 2⋅10^30 kg. Het tempo waarin de massa van de zon afneemt is dus 4⋅10^9 kg/s.

[wnvl1]

@wnvl1 & HansH,

Na een verfrissing zou ik durven stellen dat het een nuloperatie is.
Per slot van rekening is alle energie van de zon die de aantrekkingskracht zou kunnen wijzigen (toenemen) afkomstig van kernfusie in de kern .... die massa verlies / omzetting betekend.
Het netto resultaat is wellicht nul ...........klopt dat ?

Klopt, alleen blijft de uitgestraalde energie niet ter plaatse.

[HansH]

Dus de zon wordt steeds lichter, maar er zit wat vertraging in [1] omdat de fusie in de kern van de zon gebeurt en daar dus massa wordt omgezet in energie, dus blijft massa + energie daar gelijk. maar die energie diffundeert langzaam van binnen naar buiten en wordt daarna weggestraald waarbij in evenwicht dan met zoveel massa equivalent aan energie wordt weggestraald als er in de kern wordt omgezet.

[1] 200.000-300.000 jaar: https://hemel.waarnemen.com/FAQ/Zon/014.html