Puzzels
- getrapte as 107 keer bekeken
Bepaal snelheid vP(t) en versnelling aP(t) van punt P voor: a=4cm ,ω1=2rad/s, ω2=3rad/s
getrapte as
Moderator: Rhiannon
getrapte as
As 1 en ring 2 draaien resp. met constante hoeksnelheid ω1 en ω2 om punt O. Ze brengen zonder slip de contactpunten B en C in beweging van de getrapte as 3
Bepaal snelheid vP(t) en versnelling aP(t) van punt P voor: a=4cm ,ω1=2rad/s, ω2=3rad/s
Bepaal snelheid vP(t) en versnelling aP(t) van punt P voor: a=4cm ,ω1=2rad/s, ω2=3rad/s
Elegantie in vergelijkingen is geen toeval
ads
Steun Sciencetalk
Systemyze Weekplanner Whiteboard – Magnetisch Planbord – Magnetische Maandplanner – Inclusief Markers & Wisser – A3 Formaat
Re: getrapte as
Dit heb ik met gemini gedaan, maar wel zelf bijgestuurd. De tekening werd niet correct geïinterpreteerd.
Als je (hoek)snelheid hebt van A is de rest triviaal.
-----------------------
Om de snelheid en versnelling van punt \(P\) te bepalen, analyseren we eerst de kinematica van het planetaire tandwielstelsel (de getrapte as 3). We definiëren een vast assenstelsel \((O, \hat{e}_x, \hat{e}_y)\) waarbij de getoonde configuratie overeenkomt met het tijdstip \(t=0\), met de lijn \(OAC\) langs de verticale \(y\)-as en punt \(P\) initieel horizontaal naar rechts vanaf \(A\).
Gezien de draairichtingen in de figuur draait wiel 1 tegen de klok in (positief), wat genoteerd kan worden als \(\vec{\omega}_1 = \omega_1 \hat{e}_z = 2\text{ rad/s}\). Ring 2 draait eveneens tegen de klok in (positief), dus \(\vec{\omega}_2 = \omega_2 \hat{e}_z = 3\text{ rad/s}\).
De stralen van de tandwielen worden uitgedrukt in meter op basis van \(a = 4\text{ cm} = 0.04\text{ m}\). Voor wiel 1 is de straal \(R_1 = 3a = 0.12\text{ m}\) en voor ring 2 is de straal \(R_2 = 6a = 0.24\text{ m}\). Omdat de contactpunten \(B\) en \(C\) zuiver rollen zonder slip, zijn de snelheden daar puur horizontaal gericht langs de negatieve \(x\)-as:
\[ v_C = - \omega_1 \cdot R_1 = -2 \cdot 0.12 = -0.24\text{ m/s} \]
\[ v_B = - \omega_2 \cdot R_2 = -3 \cdot 0.24 = -0.72\text{ m/s} \]
De hoeksnelheid \(\vec{\omega}_3 = \omega_3 \hat{e}_z\) van wiel 3 en de lineaire snelheid \(v_A\) van het middelpunt kunnen we bepalen uit de snelheden van de randen:
\[ v_B = v_A - \omega_3 \cdot (2a) \]
\[ v_C = v_A + \omega_3 \cdot (a) \]
Om het stelsel op te lossen, substitueren we eerst de gekende waarden voor de snelheden en de parameter \(a = 0.04\text{ m}\). Hieruit volgt dat \(2a = 0.08\text{ m}\) en \(a = 0.04\text{ m}\). Het stelsel vergelijkingen krijgt hiermee de volgende vorm:
\[ (1) \quad -0.72 = v_A - 0.08 \cdot \omega_3 \]
\[ (2) \quad -0.24 = v_A + 0.04 \cdot \omega_3 \]
We kunnen de lineaire snelheid \(v_A\) elimineren door vergelijking (1) af te trekken van vergelijking (2):
\[ (-0.24) - (-0.72) = (v_A + 0.04 \cdot \omega_3) - (v_A - 0.08 \cdot \omega_3) \]
\[ 0.48 = 0.12 \cdot \omega_3 \]
Hieruit volgt de hoeksnelheid \(\omega_3\):
\[ \omega_3 = \frac{0.48}{0.12} = 4\text{ rad/s} \]
Vervolgens substitueren we deze waarde voor \(\omega_3\) in vergelijking (2) om de snelheid \(v_A\) te bepalen:
\[ -0.24 = v_A + 0.04 \cdot 4 \]
\[ -0.24 = v_A + 0.16 \]
\[ v_A = -0.24 - 0.16 = -0.40\text{ m/s} \]
De uiteindelijke oplossing van het stelsel is bijgevolg:
\[ \omega_3 = 4\text{ rad/s} \]
\[ v_A = -0.40\text{ m/s} \]
Als je (hoek)snelheid hebt van A is de rest triviaal.
-----------------------
Om de snelheid en versnelling van punt \(P\) te bepalen, analyseren we eerst de kinematica van het planetaire tandwielstelsel (de getrapte as 3). We definiëren een vast assenstelsel \((O, \hat{e}_x, \hat{e}_y)\) waarbij de getoonde configuratie overeenkomt met het tijdstip \(t=0\), met de lijn \(OAC\) langs de verticale \(y\)-as en punt \(P\) initieel horizontaal naar rechts vanaf \(A\).
Gezien de draairichtingen in de figuur draait wiel 1 tegen de klok in (positief), wat genoteerd kan worden als \(\vec{\omega}_1 = \omega_1 \hat{e}_z = 2\text{ rad/s}\). Ring 2 draait eveneens tegen de klok in (positief), dus \(\vec{\omega}_2 = \omega_2 \hat{e}_z = 3\text{ rad/s}\).
De stralen van de tandwielen worden uitgedrukt in meter op basis van \(a = 4\text{ cm} = 0.04\text{ m}\). Voor wiel 1 is de straal \(R_1 = 3a = 0.12\text{ m}\) en voor ring 2 is de straal \(R_2 = 6a = 0.24\text{ m}\). Omdat de contactpunten \(B\) en \(C\) zuiver rollen zonder slip, zijn de snelheden daar puur horizontaal gericht langs de negatieve \(x\)-as:
\[ v_C = - \omega_1 \cdot R_1 = -2 \cdot 0.12 = -0.24\text{ m/s} \]
\[ v_B = - \omega_2 \cdot R_2 = -3 \cdot 0.24 = -0.72\text{ m/s} \]
De hoeksnelheid \(\vec{\omega}_3 = \omega_3 \hat{e}_z\) van wiel 3 en de lineaire snelheid \(v_A\) van het middelpunt kunnen we bepalen uit de snelheden van de randen:
\[ v_B = v_A - \omega_3 \cdot (2a) \]
\[ v_C = v_A + \omega_3 \cdot (a) \]
Om het stelsel op te lossen, substitueren we eerst de gekende waarden voor de snelheden en de parameter \(a = 0.04\text{ m}\). Hieruit volgt dat \(2a = 0.08\text{ m}\) en \(a = 0.04\text{ m}\). Het stelsel vergelijkingen krijgt hiermee de volgende vorm:
\[ (1) \quad -0.72 = v_A - 0.08 \cdot \omega_3 \]
\[ (2) \quad -0.24 = v_A + 0.04 \cdot \omega_3 \]
We kunnen de lineaire snelheid \(v_A\) elimineren door vergelijking (1) af te trekken van vergelijking (2):
\[ (-0.24) - (-0.72) = (v_A + 0.04 \cdot \omega_3) - (v_A - 0.08 \cdot \omega_3) \]
\[ 0.48 = 0.12 \cdot \omega_3 \]
Hieruit volgt de hoeksnelheid \(\omega_3\):
\[ \omega_3 = \frac{0.48}{0.12} = 4\text{ rad/s} \]
Vervolgens substitueren we deze waarde voor \(\omega_3\) in vergelijking (2) om de snelheid \(v_A\) te bepalen:
\[ -0.24 = v_A + 0.04 \cdot 4 \]
\[ -0.24 = v_A + 0.16 \]
\[ v_A = -0.24 - 0.16 = -0.40\text{ m/s} \]
De uiteindelijke oplossing van het stelsel is bijgevolg:
\[ \omega_3 = 4\text{ rad/s} \]
\[ v_A = -0.40\text{ m/s} \]
Bij het opstellen van mijn bijdragen maak ik regelmatig gebruik van AI als hulpmiddel voor analyse en formulering
Re: getrapte as
Ja, rest nog ωAen ω3 invullen in de positievector van P
Elegantie in vergelijkingen is geen toeval
Re: getrapte as
Om de snelheid en de versnelling van het punt \(P\) op een willekeurig tijdstip \(t\) te bepalen, analyseren we de beweging van het middelpunt \(A\) van het getrapte wiel en de rotatie van het wiel rond dit middelpunt.
Het middelpunt \(A\) bevindt zich op een vaste afstand tot de oorsprong \(O\), welke berekend wordt als de som van de straal van wiel 1 en de kleine straal van wiel 3, zodat geldt dat \[ R_A = 3a + a = 4a = 4 \times 0.04\text{ m} = 0.16\text{ m} \]. Aangezien het middelpunt \(A\) een eenparige cirkelvormige beweging rond de oorsprong uitvoert met een lineaire snelheid \(v_A = -0.40\text{ m/s}\), kan de constante baanhoeksnelheid \(\Omega\) van de drager \(OA\) worden bepaald via de relatie \(v_A = \Omega \cdot R_A\), waaruit volgt dat \[ \Omega = \frac{-0.40\text{ m/s}}{0.16\text{ m}} = -2.5\text{ rad/s} \]. Dit negatieve teken geeft aan dat de drager met de klok mee roteert, waardoor de hoekverdraaiing ten opzichte van de verticale \(y\)-as beschreven wordt door \(\theta(t) = -2.5t\).
Tegelijkertijd roteert wiel 3 met een absolute hoeksnelheid \(\omega_3 = 4\text{ rad/s}\) tegen de klok in, wat betekent dat de hoekverdraaiing van het punt \(P\) ten opzichte van de horizontale \(x\)-as gegeven wordt door \(\phi(t) = 4t\). De totale positievector \(\vec{r}_P(t)\) van het punt \(P\) is de vectorsom van de positie van het middelpunt \(\vec{r}_A(t)\) en de relatieve positie \(\vec{r}_{P/A}(t)\) van het punt \(P\) ten opzichte van \(A\). Rekening houdend met de initiële configuratie op het tijdstip \(t = 0\), waarbij \(A\) op de \(y\)-as ligt en \(P\) zich op een afstand \(2a = 0.08\text{ m}\) horizontaal rechts van \(A\) bevindt, bekomen we de volgende tijdsafhankelijke positievector:
\[ \vec{r}_P(t) = \left[ 0.16 \sin(-2.5t) + 0.08 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ 0.16 \cos(-2.5t) + 0.08 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
Door gebruik te maken van de goniometrische symmetrie-eigenschappen kan dit worden vereenvoudigd tot:
\[ \vec{r}_P(t) = \left[ -0.16 \sin(2.5t) + 0.08 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ 0.16 \cos(2.5t) + 0.08 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
De snelheidsvector \(\vec{v}_P(t)\) wordt gevonden door de positievector analitisch te differentiëren naar de tijd \(t\):
\[ \vec{v}_P(t) = \frac{d\vec{r}_P(t)}{dt} \]
Dit levert na de kettingregel de volgende uitdrukking voor de snelheid op:
\[ \vec{v}_P(t) = \left[ -0.40 \cos(2.5t) - 0.32 \sin(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ -0.40 \sin(2.5t) + 0.32 \cos(4t) \right]\hat{e}_y \]
De versnellingsvector \(\vec{a}_P(t)\) wordt vervolgens bepaald door de snelheidsvector nogmaals te differentiëren naar de tijd \(t\):
\[ \vec{a}_P(t) = \frac{d\vec{v}_P(t)}{dt} \]
Hieruit volgt de tijdsafhankelijke versnelling van het punt \(P\):
\[ \vec{a}_P(t) = \left[ 1.00 \sin(2.5t) - 1.28 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ -1.00 \cos(2.5t) - 1.28 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
Ter controle kunnen we deze resultaten evalueren op het startmoment \(t = 0\), hetgeen resulteert in een initiële snelheid \(\vec{v}_P(0) = -0.40\hat{e}_x + 0.32\hat{e}_y\text{ [m/s]}\) en een initiële versnelling \(\vec{a}_P(0) = -1.28\hat{e}_x - 1.00\hat{e}_y\text{ [m/s}^2\text{]}\). In deze versnelling herkennen we enerzijds de normale versnelling van het middelpunt \(A\) gericht naar de oorsprong \(O\) met een grootte van \(\Omega^2 \cdot R_A = 2.5^2 \times 0.16 = 1.00\text{ m/s}^2\), en anderzijds de centrifugale versnelling van het punt \(P\) ten opzichte van het rotatiecentrum \(A\) met een grootte van \(\omega_3^2 \cdot 2a = 4^2 \times 0.08 = 1.28\text{ m/s}^2\).
Het middelpunt \(A\) bevindt zich op een vaste afstand tot de oorsprong \(O\), welke berekend wordt als de som van de straal van wiel 1 en de kleine straal van wiel 3, zodat geldt dat \[ R_A = 3a + a = 4a = 4 \times 0.04\text{ m} = 0.16\text{ m} \]. Aangezien het middelpunt \(A\) een eenparige cirkelvormige beweging rond de oorsprong uitvoert met een lineaire snelheid \(v_A = -0.40\text{ m/s}\), kan de constante baanhoeksnelheid \(\Omega\) van de drager \(OA\) worden bepaald via de relatie \(v_A = \Omega \cdot R_A\), waaruit volgt dat \[ \Omega = \frac{-0.40\text{ m/s}}{0.16\text{ m}} = -2.5\text{ rad/s} \]. Dit negatieve teken geeft aan dat de drager met de klok mee roteert, waardoor de hoekverdraaiing ten opzichte van de verticale \(y\)-as beschreven wordt door \(\theta(t) = -2.5t\).
Tegelijkertijd roteert wiel 3 met een absolute hoeksnelheid \(\omega_3 = 4\text{ rad/s}\) tegen de klok in, wat betekent dat de hoekverdraaiing van het punt \(P\) ten opzichte van de horizontale \(x\)-as gegeven wordt door \(\phi(t) = 4t\). De totale positievector \(\vec{r}_P(t)\) van het punt \(P\) is de vectorsom van de positie van het middelpunt \(\vec{r}_A(t)\) en de relatieve positie \(\vec{r}_{P/A}(t)\) van het punt \(P\) ten opzichte van \(A\). Rekening houdend met de initiële configuratie op het tijdstip \(t = 0\), waarbij \(A\) op de \(y\)-as ligt en \(P\) zich op een afstand \(2a = 0.08\text{ m}\) horizontaal rechts van \(A\) bevindt, bekomen we de volgende tijdsafhankelijke positievector:
\[ \vec{r}_P(t) = \left[ 0.16 \sin(-2.5t) + 0.08 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ 0.16 \cos(-2.5t) + 0.08 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
Door gebruik te maken van de goniometrische symmetrie-eigenschappen kan dit worden vereenvoudigd tot:
\[ \vec{r}_P(t) = \left[ -0.16 \sin(2.5t) + 0.08 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ 0.16 \cos(2.5t) + 0.08 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
De snelheidsvector \(\vec{v}_P(t)\) wordt gevonden door de positievector analitisch te differentiëren naar de tijd \(t\):
\[ \vec{v}_P(t) = \frac{d\vec{r}_P(t)}{dt} \]
Dit levert na de kettingregel de volgende uitdrukking voor de snelheid op:
\[ \vec{v}_P(t) = \left[ -0.40 \cos(2.5t) - 0.32 \sin(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ -0.40 \sin(2.5t) + 0.32 \cos(4t) \right]\hat{e}_y \]
De versnellingsvector \(\vec{a}_P(t)\) wordt vervolgens bepaald door de snelheidsvector nogmaals te differentiëren naar de tijd \(t\):
\[ \vec{a}_P(t) = \frac{d\vec{v}_P(t)}{dt} \]
Hieruit volgt de tijdsafhankelijke versnelling van het punt \(P\):
\[ \vec{a}_P(t) = \left[ 1.00 \sin(2.5t) - 1.28 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ -1.00 \cos(2.5t) - 1.28 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
Ter controle kunnen we deze resultaten evalueren op het startmoment \(t = 0\), hetgeen resulteert in een initiële snelheid \(\vec{v}_P(0) = -0.40\hat{e}_x + 0.32\hat{e}_y\text{ [m/s]}\) en een initiële versnelling \(\vec{a}_P(0) = -1.28\hat{e}_x - 1.00\hat{e}_y\text{ [m/s}^2\text{]}\). In deze versnelling herkennen we enerzijds de normale versnelling van het middelpunt \(A\) gericht naar de oorsprong \(O\) met een grootte van \(\Omega^2 \cdot R_A = 2.5^2 \times 0.16 = 1.00\text{ m/s}^2\), en anderzijds de centrifugale versnelling van het punt \(P\) ten opzichte van het rotatiecentrum \(A\) met een grootte van \(\omega_3^2 \cdot 2a = 4^2 \times 0.08 = 1.28\text{ m/s}^2\).
Bij het opstellen van mijn bijdragen maak ik regelmatig gebruik van AI als hulpmiddel voor analyse en formulering
Re: getrapte as
@Ukster,
Topic doet mij denken aan een veel gebruikte mechanische constructie voor "aandrijving - vertraging" met name planetaire / epicyclische vertragingen.
Maar bij deze constructie moet er altijd één element fix / vast zijn.
Topic doet mij denken aan een veel gebruikte mechanische constructie voor "aandrijving - vertraging" met name planetaire / epicyclische vertragingen.
Maar bij deze constructie moet er altijd één element fix / vast zijn.
ads
Terug naar “☕️ Sciencetalk café”
