(inhoud) vierde dimensie

[Jean Demarteau]

O = 2Pir
Opp = PiRkwadraat
inhoud= 1/3PiRtot de macht 3
Dit zijn allemaal integraal functies van elkaar dus de (inhoud) van de vierde dimnesie= 1/12 PiRtot de macht 4

Is dit nieuw en kan ik dit dan ergens publiceren?

[flappelap]

O = 2Pir
Opp = PiRkwadraat
inhoud= 1/3PiRtot de macht 3
Dit zijn allemaal integraal functies van elkaar dus de (inhoud) van de vierde dimnesie= 1/12 PiRtot de macht 4

Is dit nieuw en kan ik dit dan ergens publiceren?

inhoud= 4/3PiRtot de macht 3 ipv inhoud= 1/3PiRtot de macht 3 . Voor de inhoud van een n-bol, zie

https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball

Dus nee, je kunt je voorstel niet publiceren.

[HansH]

inhoud= 4/3PiRtot de macht 3 ipv inhoud= 1/3PiRtot de macht 3 . Voor de inhoud van een n-bol, zie

https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball

Misschien goed om eens op een rijtje te zetten hoe je uberhaupt het volume van zo'n ndimensionale bol uitrekent.
coor een 3d bol kun je het bijvoorbeeld doen door de bol in cirkelplakjes op te delen loodrecht op de x-as en dan te integreren over het stuk x waar de cirkel een positief oppervlak heeft.
Dan zie je ook gelijk de structuur ontstaan.

Maar doe je dat hetzelfde voor een bol in meer dan 3 dimensies?

[flappelap]

inhoud= 4/3PiRtot de macht 3 ipv inhoud= 1/3PiRtot de macht 3 . Voor de inhoud van een n-bol, zie

https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball

Misschien goed om eens op een rijtje te zetten hoe je uberhaupt het volume van zo'n ndimensionale bol uitrekent.
coor een 3d bol kun je het bijvoorbeeld doen door de bol in cirkelplakjes op te delen loodrecht op de x-as en dan te integreren over het stuk x waar de cirkel een positief oppervlak heeft.

Maar doe je dat hetzelfde voor een bol in meer dan 3 dimensies?

Je generaliseert de definierende vergelijking voor bol naar n dimensies. Dus in zekere zin doe je dat, inderdaad.

[RedCat]

Ter illustratie:

Als \(V_n(R)\) = het volume van een n-dimensionale bol met middelpunt de oorsprong en straal R, dan is voor n>0:

\(\displaystyle V_n(R) = \int_{-R}^R V_{n-1}(x)\; dx = 2\int_0^R V_{n-1}(x)\; dx\)

en \(V_0(R) = 1\) ("in 0 dimensies is elke bol een punt met het volume van 1 punt")

\(\displaystyle V_1(R) = 2\int_0^R V_0(x)\; dx = 2 \int_0^R 1\; dx = 2\cdot \left[ x \right]_0^R = 2R\)

\(\displaystyle V_2(R) = 2\int_0^R V_1(x)\; dx = 2 \int_0^R 2r(x) \; dx = 2 \int_0^R 2\sqrt{R^2-x^2} \; dx = \pi R^2\)

\(\displaystyle V_3(R) = 2\int_0^R V_2(x)\; dx = 2 \int_0^R \pi r(x)^2 \; dx = 2\pi \int_0^R (R^2-x^2) \; dx = \frac{4}{3} \pi R^3\)

Merk op:
Telkens is:
• x = de toegevoegde dimensie
• de integrand = het volume van een bol van 1 dimensie lager, met een straal \(r\) afhankelijk van x: \(r(x) = \sqrt{R^2-x^2}\)

In een plaatje:

Zo doorgaand wordt:

\(\displaystyle V_4(R) = 2\int_0^R V_3(x)\; dx = 2 \int_0^R \frac{4}{3}\pi r(x)^3 \; dx = \frac{8}{3}\pi \int_0^R \left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^3 \; dx = \frac{1}{2} \pi^2 R^4\)

\(\displaystyle V_5(R) = 2\int_0^R V_4(x)\; dx = 2 \int_0^R \frac{1}{2}\pi^2 r(x)^4 \; dx = \pi \int_0^R \left(R^2-x^2\right)^2 \; dx = \frac{8}{15} \pi^2 R^5\)

etc.


NOOT: handig voor het berekenen van de integralen voor bollen met even dimensies:
substitutie: \(x=R\sin t\); \(dx = R \cos t\; dt\);
integratiegrenzen: \(x=0 \rightarrow t=0\) en \(x=R \rightarrow t=\pi/2\)
machtreductie: \(\cos^2 t = \frac{1}{2}(1+\cos 2t)\)

[HansH]

lastig om je een bol in 4 dimensies voor te stellen. maar voor de berekening komt het er dus op neer dat je steeds een doorsnede maakt op punt x in de hogere dimensie.
Je begint dan dus voor de x waarbij de doorsnede een bol oplevert met volume=0. vergelijkbaar met de cirkel met oppervlak = 0 in 3 dimensies als doorsnede met de bol in 3 dimensies.
Voor x+deltax krijg je dan als doorsnede een bol met volume > 0 etc totdat je eindigt op x waarbij het volume van de doorsnijding een bol oplevert met volume=0.
je kunt je dus wel die serie bollen voorstellen waarvan je dan de volumes moet sommeren, maar je kunt ze niet in 1 plaatje tekenen in 4 dimensies,