De relatie tussen ghost-deeltjes en massieve gravitatie
De link tussen ghost-deeltjes en massieve gravitatie (
massive gravity) is een van de grootste problemen bij pogingen om de algemene relativiteitstheorie van Einstein uit te breiden.
Het korte antwoord is:
Een massief graviton introduceert extra vrijheidsgraden. Als deze extra toestanden niet op een zeer specifieke manier worden behandeld, verschijnt er een zogenaamde
ghost: een onfysische vrijheidsgraad met negatieve kinetische energie. Zo'n toestand maakt de kwantumtheorie instabiel.
Ik zal dit stap voor stap uitleggen.
Wat is een ghost?
In een kwantumveldentheorie wordt een deeltje beschreven door een veld. Een belangrijk onderdeel van de Lagrangiaan is de kinetische term.
Voor een normaal scalair veld geldt bijvoorbeeld:
\[
\mathcal{L}
=
-\frac{1}{2}
\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi
-
\frac{1}{2}m^2\phi^2 .
\]
De kinetische energie die hieruit volgt is positief:
\[
E>0.
\]
De kwantisatie geeft dan normale deeltjes.
Een ghost ontstaat wanneer het teken van de kinetische term omgekeerd is:
\[
\mathcal{L}_{ghost}
=
+\frac{1}{2}
\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi
-
\frac{1}{2}m^2\phi^2 .
\]
Dan krijgt de excitatie een negatieve energie:
\[
E<0.
\]
Dit is een fundamenteel probleem, omdat de Hamiltoniaan dan niet meer begrensd is van onderen.
Er bestaat dan geen stabiele laagste energietoestand. Het vacuüm zou bijvoorbeeld spontaan kunnen vervallen volgens:
\[
0\rightarrow
\text{normaal deeltje}
+
\text{ghost}.
\]
De energie kan behouden blijven omdat:
\[
E+(-E)=0.
\]
Er kunnen dus willekeurig positieve-energie-deeltjes en negatieve-energie-gosts ontstaan. De theorie wordt daardoor fysisch onbruikbaar.
Waarom verschijnt dit probleem bij massieve gravitatie?
In de algemene relativiteit is het graviton massaloos. Het metrische veld wordt geschreven als:
\[
g_{\mu\nu}
=
\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}.
\]
Een massaloos graviton heeft in vier dimensies slechts twee fysieke polarisaties:
\[
+,\times .
\]
Dit komt overeen met de twee polarisaties van een zwaartekrachtsgolf.
Een massief spin-2-deeltje heeft echter vijf vrijheidsgraden:
- twee tensorpolarisaties;
- twee vectorpolarisaties;
- één scalaire polarisatie.
Dus:
\[
2+2+1=5.
\]
Wanneer men zwaartekracht een massa geeft, moeten deze extra toestanden aanwezig zijn.
Het probleem is dat één van deze extra vrijheidsgraden een verkeerde kinetische term kan krijgen. Dan ontstaat een ghost.
Deze ghost staat bekend als de
Boulware--Deser ghost.
De Fierz--Pauli theorie
De eerste poging om een massief graviton consistent te beschrijven was de Fierz--Pauli theorie.
Men schrijft:
\[
g_{\mu\nu}
=
\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}.
\]
De massaterm moet dan precies de vorm hebben:
\[
\mathcal{L}_m
=
-\frac{1}{2}m^2
(h_{\mu\nu}h^{\mu\nu}-h^2),
\]
waar:
\[
h=h^\mu_{\mu}.
\]
Het speciale verschil
\[
h_{\mu\nu}h^{\mu\nu}-h^2
\]
is essentieel.
Een algemene massaterm zoals:
\[
h_{\mu\nu}h^{\mu\nu}
+\alpha h^2
\]
introduceert namelijk een zesde vrijheidsgraad.
Een massief spin-2 veld hoort vijf toestanden te hebben, maar nu verschijnen er zes.
Die zesde toestand is een scalaire modus die zich gedraagt als een onafhankelijk veld.
Als deze modus een verkeerde kinetische term krijgt:
\[
\mathcal{L}_{\pi}
=
+\frac{1}{2}(\partial\pi)^2,
\]
dan geldt:
\[
E_\pi<0,
\]
en ontstaat een ghost.
De Boulware--Deser ghost
De Fierz--Pauli theorie lijkt veilig zolang men alleen naar de lineaire benadering kijkt.
Maar echte zwaartekracht is niet-lineair. Wanneer men de volledige theorie probeert te construeren:
\[
G_{\mu\nu}+m^2X_{\mu\nu}
=
T_{\mu\nu},
\]
verschijnt de zesde vrijheidsgraad opnieuw.
Dit werd ontdekt door Boulware en Deser.
De ghost ontstaat dus niet in de lineaire theorie, maar door de niet-lineaire interacties van het massieve graviton.
dRGT massive gravity
Een belangrijke doorbraak kwam met het werk van Claudia de Rham, Gregory Gabadadze en Andrew Tolley.
Zij vonden een speciale klasse van massieve gravitatie:
\[
\text{dRGT massive gravity}.
\]
De massatermen worden hierbij zo gekozen dat de gevaarlijke zesde vrijheidsgraad geen dynamische toestand wordt.
De actie heeft de vorm:
\[
S=
\frac{M_{Pl}^2}{2}
\int d^4x\sqrt{-g}
(R+m^2U(g,\phi)).
\]
Door de speciale structuur van \(U\) blijven er precies vijf gravitonmodi over.
Het resultaat:
\[
5\ \text{vrijheidsgraden}
\]
en geen Boulware--Deser ghost.
Verband met donkere energie
Massieve gravitatie werd ook onderzocht omdat een kleine gravitonmassa de zwaartekracht op zeer grote afstanden zou kunnen veranderen.
Een massaloze gravitatie geeft ongeveer:
\[
V(r)\sim\frac{1}{r}.
\]
Een massief graviton geeft een Yukawa-potentiaal:
\[
V(r)\sim\frac{e^{-mr}}{r}.
\]
De zwaartekracht wordt hierdoor zwakker op afstanden groter dan ongeveer:
\[
r\gtrsim\frac{\hbar}{mc}.
\]
Dit opent de mogelijkheid dat kosmologische effecten verklaard kunnen worden zonder een kosmologische constante.
In plaats van:
\[
G_{\mu\nu}
+\Lambda g_{\mu\nu}
=
8\pi G T_{\mu\nu},
\]
zou een gewijzigde gravitatiepropagatie op grote schaal de versnelde uitdijing kunnen veroorzaken.
Maar:
- gewone massive gravity heeft ghostproblemen;
- dRGT massive gravity vermijdt de ghost, maar kent sterke beperkingen;
- de kosmologische oplossingen zijn zeer ingewikkeld.
Samenvatting
\[
\begin{array}{c|c|c}
\text{Theorie} & \text{Aantal gravitonmodi} & \text{Ghost?}\\
\hline
\text{Algemene relativiteit} & 2 & \text{Nee}\\
\text{Fierz-Pauli lineair} & 5 & \text{Nee}\\
\text{Niet-lineaire massive gravity} & 6 & \text{Ja}\\
\text{dRGT massive gravity} & 5 & \text{Nee}
\end{array}
\]
De essentie is:
Een massief graviton introduceert extra vrijheidsgraden.
Een verkeerd gekozen vrijheidsgraad wordt een negatieve-energie ghost.
dRGT massive gravity vermijdt dit probleem door de interacties zeer specifiek te kiezen.
De interessante link met donkere energie is dat een ghost intuïtief lijkt op een veld met negatieve energie, iets wat men zou kunnen gebruiken om kosmische versnelling te verklaren. De kwantumveldentheorie laat zulke eenvoudige negatieve-energievelden echter niet toe, omdat ze het vacuüm instabiel zouden maken.
Puzzels
Ik heb destijds veel aan het overzicht
