[Wiskunde] Integralen / Integreren

[Anonymous]

Graag wat hulp gehad bij het oplossen van volgende oefeningen:

via subtitutie oplossen:

[x sqrt(x+2) dx (opl = 2/5(x+2)^5/2 - 4/3(x+2)^3/2 + C)

[1/sqrt(1-4x²) dx (opl = 1/2 Bgsin2x + C)

met partiële integratie:

[Bgtg x dx (opl = x Bgtg x - 1/2ln(1+x²) + C)

combi:

[ dy/sqrt(C²y² + 1) (opl = 1/Cln |Cy + sqrt(C²y² + 1 | + C)

Kzou echt nie weten hoe ik die oefeningen van substitutie moet oplossen. Ben daar al ff aan bezig geweest ma kom nie aan de uitkomst. Die oef van partiële integratie hebk al voor een stukje maar kweet niet of het goed is:

=[Bgtg x x - [ d(Bgtg x) x dx (a.b - [ d(a) . b

met a = Bgtg x

d(b) = d(x)

=> b = [d(x) dx

b = [ 1 dx

b = x + c

=[Bgtg x x - [ 1/(1+x²) . x . dx

=[Bgtg x x - [ (1+x²)^-1 . x . dx

=[Bgtg x x - [(1+x²)^-1 . x²/2 - [d((1+x²)^-1 . x²/2 + C)

enz... ben ik wel goed bezig want het wordt nogal omslachtig?

[Math]

We blijven bezig met integralen. Hoewel dit prima is (en vooral blijven doen!), denk ik dat het verstandig is om het een beetje te bundelen in één topic. Dit omdat men dan snel en gemakkelijk terug kan kijken naar voorgaande vragen (én antwoorden!). Hierdoor kan men wellicht zelfs voldoende informatie krijgen door te kijken naar voorgaande berichten.

Dus bij deze heb ik deze nieuwe topic gedoopt tot Integralen / Integreren

Gelieve dus alle nieuwe vragen over integreren en integralen in deze topic te plaatsen. Verkeerd geplaatste berichten en/of nieuwe (overbodige) threads zullen gesloten worden!

Alvast bedankt voor de medewerking.

[Anonymous]

kzie eigenlijk maar 2 mogelijkheden om te substitueren bij de eerste oefening op substitutie:

ofwel x+2 substitueren,

ofwel sqrt(x+2)

bij het eerste krijg ik dan:

[x sqrt(u) du

hier zit nu een x in die ik niet kan schrappen, hoe los ik dit dan verder op?

bij de tweede mogelijkheid krijg ik:

=[x u du/(1/2(x+2)^-1/2)

=[2 x u (x+2)^1/2 + 2^1/2 du

....

nu kan ik wel een aantal constanten buiten het integraalteken brengen maar ik blijf hier toch ook weer zitten met die x? weet mss iemand hoe ik die kwijtgeraak? thx!

[TD]

via subtitutie oplossen:

[x sqrt(x+2) dx               (opl = 2/5(x+2)^5/2 - 4/3(x+2)^3/2 + C)

[1/sqrt(1-4x²) dx             (opl = 1/2 Bgsin2x + C)

x[wortel](x+2) dx

Stel (x+2) = y

<=> x+2 = y²

<=> x = y² - 2

<=> dx = 2ydy

=> (y² - 2)y 2y dy = 2y⁴ - 4y² dy

1/ (1-4x²) dx

1/2 1/ (1-(2x)²) d(2x)

Dit is een bgsin in 2x, in principe is dit een substitutie y = 2x

met partiële integratie:

[Bgtg x dx                       (opl = x Bgtg x - 1/2ln(1+x²) + C)

bgtg(x) dx

f = bgtg(x) <=> df = 1/(1+x²) dx

dg = dx <=> g = x

=> {|= bgtg(x) dx = x*bgtg(x) - [int]x/(1+x²) dx

Voor die laatste, de afgeleide van de noemer is 2x, breng een factor 2 in de teller (dus 1/2 voor de integraal) en de primitieve is ln van de noemer.

Nu je gezien hebt hoe substitutie en PI gaat kan je die laatste misschien even zelf proberen. Als dat niet lukt laat je maar zien waar je vastzit. Succes!

[sdekivit]

dat laatste berust dus op de truc f'(x) / f(x) dx = ln |f(x)|

--> x / (1+x^2) dx = 1/2 * 2x / (1 + x^2) dx

nu staat in de teller de afgeleide van de noemer en geldt dus als primitieve 1/2 * ln | 1 + x^2 |

[arual]

Ik heb ook een vraag:

Wat is de primitieve van sin²x * sin(2x)

En hoe moet ik dit aanpakken?

[sdekivit]

Ik heb ook een vraag:

Wat is de primitieve van sin²x * sin(2x)

En hoe moet ik dit aanpakken?

substitutiemethode door u = sin^2 (x) te kiezen:

u = sin^2 (x) --> du/dx = 2sin x * cos x

--> zoals je weet is 2 sinx * cos x = sin 2x, dus krijgen we dx = du/sin (2x)

--> sin^2 (x) * sin (2x) dx = u * sin (2x) * du/sin(2x) = u du

--> dus de primitieve wordt dan 1/2 * sin^4 (x) + c

[arual]

Ik begrijp die laatste zin niet..."dus de primitieve wordt dan......"

Hoe kom je daaraan?

[sdekivit]

Ik begrijp die laatste zin niet..."dus de primitieve wordt dan......"

Hoe kom je daaraan?

de primitieve van u du = 1/2 * u^2 + c

substitueer nu sin^2 (x) voor u en dat levert 1/2 * sin^4 (x) + c op

[Anonymous]

Waar komt die 0.5 en u² vandaan?

[sdekivit]

Waar komt die 0.5 en u² vandaan?

ooit gehoord van integratieregels?

voor elke x^n behalve n = -1 geldt de primitieve 1/(n+1)x^(n+1)

[Anonymous]

Ja...die staat op de formulekaart...maar ik zie nog steeds niet hoe het zit. En moet je niet gewoon de primitieve nemen van u * du... ipv de primitieve van de integraal van u * du?

[Math]

Misschien tijd voor een iets andere aanpak (met uiteraard dezelfde uitkomst!):



Duidelijker?

[sdekivit]

Ja...die staat op de formulekaart...maar ik zie nog steeds niet hoe het zit. En moet je niet gewoon de primitieve nemen van u * du... ipv de primitieve van de integraal van u * du?

ik neem toch ook de primitieve van u * du

[Math]

@sdekivit: ik heb hem ook in Maple berekend, maar die geeft een (wellicht op het eerste gezicht) vreemd antwoord.



Kun jij dit rijmen met ons antwoord?