Wetenschapsquiz: overhangende tegels

[Miels]

Omdat het in het algemene WetenschapsQuiz-topic nogal lang/onoverzichtelijk werd, wilde ik deze vraag even afsplitsen.

Als je twee tegels hebt, dan laat je de tweede precies de helft overhangen op de eerste. Op die manier heb je de maximum overhelling en is de moment nul (dit is belangrijk!). Als je drie tegels hebt, dan laat je de bovenste de helft overhellen op de middelste (net zoals bij twee tegels) en de middelste een kwart overhelling op de onderste. Het moment is nu weer nul. Als je zorgt dat het moment nul is zul je de reeks 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ... krijgen. Dit is een reeks die naar oneindig gaat.

Ik ben het er zowel gevoelsmatig als wetenschappelijk niet mee eens. Het gaat immers niet alleen om het moment per tegel (heb ik geleerd bij mechanica in mijn opleiding bouwkunde aan de TU/e. Nu maar hopen dat ik geen flater ga slaan... ).

Laten we even voor het gemak aannemen dat we de tegels met elkaar verbinden (aan elkaar lijmen), waarbij iedere tegel steeds voor de helft op de voorgaande ligt. Zo onstaat 1 grote stijve trap.

Deze trap valt om wanneer het zwaartepunt buiten het standoppervlak valt. Met andere woorden: in de beschreven situatie zou je 3 tegels kunnen stapelen.

Als je nu echter de lijm verwijdert kan je er 4 stapelen. Het scharnierpunt wordt immers de bovenhoek van de eerste tegel. Die tegel ligt plat op de grond, en daar zal niets aan veranderen.

[Bart]

Miels, ik werk ook helemaal niet met lijm. Het draaipunt is steeds de rand van een tegel en je moet bij alle draaipunten (behalve van de bovenste tegel, want daar ligt geen tegel meer bovenop) controleren of het moment nul is.



Tegel 1 helt een halve lengte over tegel 2.

Tegel 2 helt een kwart lengte over tegel 3

Tegel 3 helt een 1/6 lengte over tegel 4

Het netto moment op tegel 2 is 0, omdat het zwaartepunt van tegel 1 precies boven het draaipunt (de rand van tegel 2) ligt.

Het zwaartepunt van tegel 2 ligt -1/4 van het draaipunt op tegel 3. Tegel 1 heeft het zwaartepunt op +1/4 afstand van datzelfde draaipunt. Nettomoment=0

Het zwaartepunt van tegel 3 ligt op 1/6-1/2=-4/12 afstand van het draaipunt van tegel 4. Het zwaartepunt van tegel 2 ligt op 1/6+1/4-1/2=-1/12 afstand van datzelfde draaipunjt en voor tegel 1 is dit 1/6+1/4=5/12

-4/12-1/12+5/12 = 0 en dus weer is het moment nul.

[stay anti]

de beruchte stoeptegel gate

Het kan aan mij liggen maar 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gaat toch nooit naar oneindig ?? hij gaat naar oneindig hoog maar niet naar oneindig ver overhellend...

[Jan van de Velde]

http://sciencetalk.nl/forum/invision/in...showtopic=18056

Hier spreekt collega Bart van 1/2 + 1/4 +1/6+ 1/8 +1/10 +1/12+ enz, en dat gaat wel naar oneindig volgens mij, of althans ruim voorbij de 1.

Ik moet overigens toegeven dat ik er ook nog niet uit ben. Ik moet nog eens een snelle rekenmethode ontwikkelen om te checken of de totale momenten inderdaad in evenwicht blijven. Mijn intuitie zegt me van niet, maar die intuitie laat me wel vaker in de steek... (en dus heb ik me nog niet met die discussie bemoeid verder )

[stay anti]

oneindig en ruim voorbij de 1 is wel een groot verschil

[Jan van de Velde]

oneindig en ruim voorbij de 1 is wel een groot verschil

Ja, maar voor mijn intuitie maakt dat niet uit, omdat mijn intuitie beweert dat voorbij de 1 niet zal lukken.

Hoe dan ook, ik zal de onderste steen nog boven krijgen......

[Kris Hauchecorne]

De kwestie is dat het bovenste blokje voor de helft op het tweede blokje moet liggen. Het zwaartepunt van die twee blokjes samen moet op de rand van het derde blokje liggen. Het zwaartepunt van de bovenste drie blokjes moet boven de rand van het vierde blokje liggen. Enzovoort. Als je het op die manier uitrekend kom je er.

Als het zwaartepunt van het eerste blokje op x = 0 ligt, ligt het tweede blokje op x=1/2; het derde op (0+1/2)/2+1/2=3/4; het vierde blokje op (0+1/2+3/4)/3+1/2=11/12 en het vijfde blokje op 25/24 (gemiddelde van de vorige blokjes +1/2) wat al een overhang van meer dan één blokje is.

Ik had hem ook fout. ik was uitgegaan van een schuine toren. Die zou omvallen omdat zijn zwaartepunt voorbij de rand van het onderste blokje komt. Bij deze stapeling gebeurt dat nooit en kan je dus oneindig doorgaan. In excel zie je dat je al vlug voorbij de twee komt ook.

[Miels]

Hmm, misschien had ik de vraag niet goed gelezen (ouch... Voorwaarde 1 voor een goede oplossing). Ik had bedacht dat iedere tegel de helft van de tegellengte uit stak, dus allemaal zoals tegen 1 en 2 in je tekening.

[Jan van de Velde]

Om te voorkomen dat ik met "smoezen" als die van Miels moest komen heb ik een reactie hier maar een weekje uitgesteld, zoekende naar een elegante manier om het uit te rekenen.

Ik raakte een beetje de weg kwijt in die breuken en ben maar eens een excel-bestandje gestart met een tegel van 24 kolommetjes breed, in elk kolommetje een 1-tje geplaatst voor de massa van dat vierentwintigste deel van die tegel. Daaronder net zo'n tegel, 12 blokjes verschoven, daaronder weer een, nog eens 6 blokjes verder, nog een nog eens 4blokjes verder, dan nog een nog eens 3 blokjes verder. (1/2 +1/4+1/6+1/8 )

IN elk kolommetje de massa opgeteld en vermenigvuldigd met de afstand tot de "as". En dan de momenten uit elk kolommetje opgeteld, apart voor links en rechts.

De bovenste tegel hangt nu dus inmiddels 25/24 tegel over, en het evenwicht klopt nog als een zwerende vinger. Een tiende deel van 24 kolommetjes opschuiven lukt niet best, maar bij benadering blijft het kloppen

Ik vind dit NIET leuk. Dit is nu al de zoveelste keer dat mijn intuitie voor gaas gaat.....

[Jan van de Velde]

Tussen twee haakjes, is dit tegeltjesverhaal eigenlijk het principe van de Gothische boog?

[StrangeQuark]

de beruchte stoeptegel gate  

Het kan aan mij liggen maar 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gaat toch nooit naar oneindig ??  hij gaat naar oneindig hoog maar niet naar oneindig ver overhellend...

Deze serie gaat absoluut naar oneindig.

[EvilBro]

Deze serie gaat absoluut naar oneindig.

1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gaat niet naar oneindig. Dit gaat naar 1.

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ... gaat wel naar oneindig.

[wombat]

Deze serie gaat absoluut naar oneindig.

1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gaat niet naar oneindig. Dit gaat naar 1.

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ... gaat wel naar oneindig.

Zonder rekenen, dit gaat bijna naar 1.

Je start bij 0.

Je legt steeds de halve afstand af naar 1. Je gaat dus richting 1.

Als je steeds de helft van het resterende gedeelte aflegt kom je nooit bij 1 .

Gr,

henk

[aadkr]

Deze opgave is volgens mij behandeld in de nationale wetenschapkwis

Deze opgave staat ook in het natuurkundeboek SCOOP 5/6 voor het vwo

Bij 3 stenen : Oversteek = ( 1/2 + 1/4 ) .L

Bij 4 stenen: Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 ) .L

Bij 5 stenen : Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ) .L

...........................

...........................

Bij n stenen: Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ......+ 1/ [2.(n-1)] ) .L

Oversteek= Algebraische sommatie van 1/[2.(k-1)] voor k=2 tot n en dit keer L

Oversteek = 1/2 .L . Algebraische sommatie van 1/(k-1) voor k=2 tot n

= 1/2 .L . Algebraische sommatie 1/k voor k=1 tot (n-1)

Als we het aantal stenen (n) tot oneindig laten naderen, dan wordt de oversteek ook oneindig groot omdat Algebraische sommatie 1/k voor k=1 tot (n-1)

voor n=> oneindig ook naar + oneindig nadert.

[wombat]

Deze opgave is volgens mij behandeld in de nationale wetenschapkwis

Deze opgave staat ook in het natuurkundeboek SCOOP 5/6 voor het vwo

Bij 3 stenen : Oversteek = ( 1/2 + 1/4 ) .L

Bij 4 stenen:  Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 ) .L

Bij 5 stenen : Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ) .L

...........................

...........................

Bij  n  stenen: Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ......+ 1/ [2.(n-1)] ) .L

Oversteek= Algebraische sommatie van 1/[2.(k-1)] voor k=2 tot n en dit keer L

Oversteek = 1/2 .L .  Algebraische sommatie van 1/(k-1) voor k=2 tot n

= 1/2 .L . Algebraische sommatie 1/k voor k=1 tot (n-1)

Als we het aantal stenen (n) tot oneindig laten naderen, dan wordt de oversteek ook oneindig groot omdat  Algebraische sommatie 1/k  voor k=1 tot (n-1)  

voor n=> oneindig  ook naar + oneindig nadert.

De som (sigma) van k=2 naar oneindig van (1/2)^(k-1) =1/2+1/4+1/8+....=1

Op de pc in Excel kan je het ook even uitproberen, even 0.5 in een cel intikken en dan in de volgende cel de helft van de voorgaande, dat is een kleine formule.

Als je die reeks even over pakweg 80-100 regels herhaal, even de copieeerfunctie of iets dergelijks toepassen. Nadat je met autosom opgeteld hebt dan is de som van het geheel kleiner dan 1.

Gr,

Henk