formule ivm oneindigheid

[bibliotheek357]

De eerste reply van asquare was al een goede antwoord op mijn vraag, je kunt deze topic eventueel locken of open laten voor als anderen nog graag erover discussieren. Maar zoals eerder voorgesteld denk ik dat dit met limiet moet worden aangetoond. (die ik de volgende week vast en zeker te zien krijg)

[TD]

Het lijkt me inderdaad beter dat je hier pas verder je hoofd over breekt wanneer je limieten gezien hebt. Die eerste reply was misschien een bevredigend antwoord voor jou maar was zeker niet helemaal wiskundig correct! Vooral notatie is bij dit soort zaken van groot belang...

Het is sowieso meestal al erg 'riskant' als je met wil gaan 'rekenen'. De tradionele rekenregels uit gaan niet altijd zomaar door. Zoals al eerder gezegd is het vooral belangrijk dat je beseft dat *geen getal* is, maar een symbool dat een bepaalde betekenis heeft.

[bibliotheek357]

Het is sowieso meestal al erg 'riskant' als je met wil gaan 'rekenen'. De tradionele rekenregels uit gaan niet altijd zomaar door. Zoals al eerder gezegd is het vooral belangrijk dat je beseft dat *geen getal* is, maar een symbool dat een bepaalde betekenis heeft.

Dat heeft de leerkracht al goed in onze oren geknoopt. Alleen die benaderingen vind ik toch maar 'gefoefel'. Als je bv 1/0 doet of 1/ , dan vind ik dit toch niet gelijk aan elkaar, ze benaderen elkaar wel heel dicht, maar daarmee zeg je dus eigenlijk dat 0.999... gelijk is aan 1, zoals hierboven vermeld. Ik vind dat je de benaderingen (vooral in deze gevaarlijke situaties met 'de grenzen die niet bestaan') niet zou mogen gebruiken.

Als je (1/0)^-1 zou doen heb je gewoon nul, maar doe je (1/ )^-1, dan krijg je en dat is toch een enorm verschil.

[TD]

Opnieuw, let op! "1/0" en "1/[oneindig]" zijn gevaarlijke dingen, het eerste omdat deling door 0 niet gedefinieerd is en het tweede omdat je nog geen rekenregels hebt ingevoerd voor , iets dat eventueel wel zou kunnen.

Overigens zijn ze ook helemaal niet gelijk aan elkaar, wat jij bedoelt is dat 1/0 misschien zou zijn en 1/ dan 0, maar dus niet 1/0 = 1/ natuurlijk! Maar genoeg van dat, want eigenlijk mogen we het zo zelfs niet schrijven

[Rogier]

Als je bv 1/0 doet of 1/ , dan vind ik dit toch niet gelijk aan elkaar, ze benaderen elkaar wel heel dicht

Nou nee, die twee lijken me een wereld van verschil (voor zover ze al iets betekenen).

maar daarmee zeg je dus eigenlijk dat 0.999... gelijk is aan 1,

Klopt, dat is het ook. Zie link van Bart.

Ik vind dat je de benaderingen (vooral in deze gevaarlijke situaties met 'de grenzen die niet bestaan') niet zou mogen gebruiken.

Wat noem jij precies een benadering?

[bibliotheek357]

Neem dat je 1/0 beschouwt als een taart die je door niemand verdeelt. Dan krijgt toch niemand een stuk taart? En neem dat je 1/ dus beschouwt als een taart die je deelt door oneindig veel mensen. Dan krijg je toch ook praktisch geen enkel stuk?

En bij benadering bedoel ik een getal die heel dicht in de buurt komt, de basisomgeving had ik eigenlijk moeten zeggen.

[Rogier]

Neem dat je 1/0 beschouwt als een taart die je door niemand verdeelt.  Dan krijgt toch niemand een stuk taart?  En neem dat je 1/ dus beschouwt als een taart die je deelt door oneindig veel mensen.  Dan krijg je toch ook praktisch geen enkel stuk?

Ik beschouw het allebei als ongedefinieerd. Maar stel dat we het per se in taarten willen uitdrukken, dan krijgt iedereen bij 1/0 nog altijd een oneindig groot stuk taart, en bij 1/ een oneindig klein (dicht bij nul) stuk taart.

En bij benadering bedoel ik een getal die heel dicht in de buurt komt, de basisomgeving had ik eigenlijk moeten zeggen.

De formele constructies daarvoor zijn limieten, en 1/0 en 1/ zijn op geen enkele redelijke manier op te vatten als benadering van elkaar.

[PeterPan]

Neem dat je 1/0 beschouwt als een taart die je door niemand verdeelt.  Dan krijgt toch niemand een stuk taart?

1/0: Er is een feestje en er is een taart. Op het feestje komt niemand.

Hoeveel taarten krijgt dan iedere bezoeker van het feestje?

Antwoord: Zowel 6 als 1/2 als 200 als 0. Er is immers niemand op dat feestje, dus kun je makkelijk elke feestganger wel 500 taarten geven (0x500=0) en toch altijd 1 taart overhouden. Het lukt nooit, hoeveel taarten je elke bezoeker ook in het vooruitzicht stelt, om 0 taarten over te houden. De deling gaat dus niet op.

Hoe definieer je een getal met oneindige decimaalontwikkeling.

Je maakt daarbij gebruik van de volgende stelling:

Is [a₀,b₀] [a₁,b₁] [wortel] [a₂,b₂] [wortel] ... een oneindige schakeling van segmenten met

lim_{n [wortel]} b_n - a_n = 0,

dan is er precies één getal c [wortel] dat in alle segmenten ligt.

Er geldt verder dat lim_{n [wortel]} a_n en lim_n b_n bestaan en gelijk zijn aan c.

Is a_n = 0,q₁q₂q₃...q_n voor alle n, dan noemen we de limiet c per definitie 0,q₁q₂q₃... waarmee aangegeven wordt dat de k-de decimaal is q_k voor alle k.

Voorbeeld: [0,9 , 1] [0,99 , 1] [wortel] [0,999 , 1] ...

[Lethy]

0 kan toch een oneindig aantal keren in eenders welk getal ?

ik zie geen probleem om met x/0 en oneindig te rekenen

0 en oneindig zijn elkaars tegenovergestelde denk ik en voor mij part is - gelijk aan +

[TD]

Eh? Jij mag dat natuurlijk rustig vinden, maar wiskundig kraam je wel onzin uit.

Om te beginnen zijn 0 en niet elkaars "tegenovergestelde", wat bedoel je daar eigenlijk mee trouwens? Voor de optelling is het "tegengestelde" van a gelijk aan -a, maar wat is jouw "tegenovergestelde"? Bovendien is - al helemaal niet gelijk aan + , waar haal je dat vandaan?

Waarom rekenen met in het algemeen een probleem is komt omdat (zoals al eerder gezegd) helemaal geen getal is, maar een symbool met een bepaalde betekenis die je goed moet begrijpen vooraleer je er mee wil werken (of eerder "spelen", voor sommigen).

Wanneer we in een veld (zoals ) werken ('lichaam' in NL) dan zijn er bepaalde zaken die voldaan moeten zijn. Zo geldt dat delen door een (van 0 verschillend) getal x eigenlijk vermenigvuldigen met 1/x is. De eigenschap die hiermee gepaard gaat is dat x*(1/x) = (1/x)*x = 1; het invers element voor de vermenigvuldiging dus. Maar als dat ook voor 0 zou moeten gelden, dan hebben we dat 0*(1/0) gelijk moet zijn aan 1, terwijl 0 vermenigvuldigd met eender welk ander reëel getal gelijk aan 0 zou moeten zijn. Probleem! Tenzij... we deling door 0 niet definiëren - voila.

[Lethy]

Om te beginnen zijn 0 en niet elkaars "tegenovergestelde", wat bedoel je daar eigenlijk mee trouwens? Voor de optelling is het "tegengestelde" van a gelijk aan -a, maar wat is jouw "tegenovergestelde"? Bovendien is - al helemaal niet gelijk aan + , waar haal je dat vandaan?

Waarom rekenen met in het algemeen een probleem is komt omdat (zoals al eerder gezegd) helemaal geen getal is, maar een symbool met een bepaalde betekenis die je goed moet begrijpen vooraleer je er mee wil werken (of eerder "spelen", voor sommigen).

gewoon dat 'oneindig is alles' en 'nul is niets', dat bedoelde ik en 1/0 is toch wel oneindig en 1/ is toch wel 0 (denk maar aan een asymptoot) zeker of is mijn fantasie te groot? ook dacht ik dat - hetzelfde is als + omdat ik een bepaalde filosofie las over - en + dat beiden hetzelfde zijn en ik vond het mooi. ik ben alleen de uitleg vergeten

[TD]

gewoon dat 'oneindig is alles' en 'nul is niets', dat bedoelde ik en 1/0 is toch wel oneindig en 1/ is toch wel 0 (denk maar aan een asymptoot) zeker of is mijn fantasie te groot? ook dacht ik dat - hetzelfde is als + omdat ik een bepaalde filosofie las over - en + dat beiden hetzelfde zijn en ik vond het mooi. ik ben alleen de uitleg vergeten  

Wiskunde is niet iets dat je altijd perfect kan voorstellen in de realiteit, iets wat je dan ook niet per se moet proberen te doen. Zo is oneindig helemaal niet 'alles'. Zoals ik al zei, als je met oneindig wil werken dan moet je éérst goed begrijpen wat het wiskundig inhoudt, anders blijf je er beter af (of probeer je erover te leren).

Wat die - en + betreft, misschien had die filosofie iets met de complexe getallen te maken waar we inderdaad niet meer spreken van +/- , maar in de (vervolledigde) reële getallen wel. Zo kan je van bepaalde functies de limiet uitrekenen naar zowel + als - en ik kan je garanderen dat dat in het algemeen niet hetzelfde is...

[bibliotheek357]

Wanneer we in een veld (zoals ) werken ('lichaam' in NL) dan zijn er bepaalde zaken die voldaan moeten zijn. Zo geldt dat delen door een (van 0 verschillend) getal x eigenlijk vermenigvuldigen met 1/x is. De eigenschap die hiermee gepaard gaat is dat x*(1/x) = (1/x)*x = 1; het invers element voor de vermenigvuldiging dus. Maar als dat ook voor 0 zou moeten gelden, dan hebben we dat 0*(1/0) gelijk moet zijn aan 1, terwijl 0 vermenigvuldigd met eender welk ander reëel getal gelijk aan 0 zou moeten zijn. Probleem! Tenzij... we deling door 0 niet definiëren - voila.

Hier heb je wel een punt...

en hetzelfde is dan dus voor ?

*(1/ )= / => kan niet

[TD]

Nee, is nog een apart geval omdat het, in tegenstelling tot 0, geen getal is, de gewone rekenregels die we voor de getallen kennen gelden dus niet allemaal zomaar. Vandaar dat je, wanneer je bij de reële getallen pi.gifpi.gif invoert, eerst rekenregels om hier mee te werken moet vastleggen.

Bepaalde zaken zoals die / zijn 'onbepaald'.

[A.Square]

Waarom is het dan onmogelijk om ze te bepalen?

En zijn er geen wiskundigen die zich daarmee bezig hebben gehouden?

Dus dat je dan net zoiets krijgt als het verwerpen van "[wortel]x met x<0 mag niet." Of het verwerpen van het parallellenpostulaat van Euclides.

Hele nieuwe wiskunde dus