[Wiskunde] 2 moeilijke limieten

[Stef]

Kan iemand me helpen met volgende 2 moeilijke limieten:

a) lim [ √(400x+1) - √(1-x) ] / [ 5√(x+1) - √(24x+25) ] (deze is naar 0)

b) lim [ ln(e+(1/x)) ]^x (deze is naar plus oneindig)

Bedankt.

[Steabert]

Kan iemand me helpen met volgende 2 moeilijke limieten:

a) lim [ √(400x+1) - √(1-x) ] / [ 5√(x+1) - √(24x+25) ]  (deze is naar 0)

b) lim [ ln(e+(1/x)) ]^x  (deze is naar plus oneindig)

Bedankt.

lukt dit niet met regel van l'Hopital??

[PeterPan]

limiet 1

Vermenigvuldig [ √(400x+1) - √(1-x) ] / [ 5√(x+1) - √(24x+25) ]

met [ 5√(x+1) + √(24x+25) ] / [ √(400x+1) + √(1-x) ].

In de teller en noemer staat dan een 'merkwaardig product'.

Dat uitwerken en x=0 invullen.

limiet 2

Toon aan dat lim x.ln(ln(e+1/x)) = 1/e voor x ,

ofwel dat lim ln(ln(e+x))/x = 1/e voor x 0

Nu is het niet moeilijk meer.

[aadkr]

PeterPan schreef:

limiet 2

Toon aan dat lim x.ln(ln(e+1/x)) = 1/e voor x   ,

ofwel dat lim ln(ln(e+x))/x = 1/e voor x 0

Nu is het niet moeilijk meer.

Het lukt mij niet om dit aan te tonen.

Graag de oplossing.

[TD]

Graag even laten zien waar je vastzit, het is niet moeilijk meer!

Zoals Peterpan al opmerkt kan je x vervangen door 1/x en dan de limiet voor x naar 0 nemen. Je krijgt dan onmiddellijk de onbepaaldheid 0/0 zodat je bvb L'Hopital kan toepassen, 1x volstaat en het antwoord rolt eruit.

Vergeet niet dat je de natuurlijke logaritme hebt genomen van de uitdrukking, dus achteraf het resultaat als exponent van e nemen.

[aadkr]

Bedankt TD! en PeterPan

Nu snap ik hem

[Stef]

limiet 1  

Vermenigvuldig [ √(400x+1) - √(1-x) ] / [ 5√(x+1) - √(24x+25) ]

met  [ 5√(x+1) + √(24x+25) ] / [ √(400x+1) + √(1-x) ].

In de teller en noemer staat dan een 'merkwaardig product'.

Dat uitwerken en x=0 invullen.

Ik zie het toch niet hoor.

Zeker dat dat product dat je toevoegt klopt ?

Ik kan toch moeilijk √(400x+1) - √(1-x) vermenigvuldigen met 5√(x+1) + √(24x+25) ? Zelfde voor de noemer...

[Stef]

Trouwens, bij die 2e, de limiet wordt toch niet van de vorm 0/0, ln e is toch 1 ?

[PeterPan]

limiet 1  

Vermenigvuldig [ √(400x+1) - √(1-x) ] / [ 5√(x+1) - √(24x+25) ]

met  [ 5√(x+1) + √(24x+25) ] / [ √(400x+1) + √(1-x) ].

Bedoeld is

[ √(400x+1) - √(1-x) ] / [ 5√(x+1) - √(24x+25) ] =

([ √(400x+1) - √(1-x) ] / [ 5√(x+1) - √(24x+25) ]).([ √(400x+1) + √(1-x) ] / [ 5√(x+1) + √(24x+25) ]).([ 5√(x+1) + √(24x+25) ]/[ √(400x+1) + √(1-x) ]) =

[ √(400x+1) - √(1-x) ].[ √(400x+1) + √(1-x)] / ([ 5√(x+1) - √(24x+25) ].[ 5√(x+1) + √(24x+25) ]) 'maal' [5√(x+1) + √(24x+25) ]/

[ √(400x+1) + √(1-x)] Nu alles voor 'maal' zo veel mogelijk vereenvoudigen. Nul invullen. Klaar.

Even op papier schrijven om duidelijker te zien wat er gebeurt.

[Stef]

Net examen gehad. Geen moeilijke limieten. Wel enkele integralen:

Integraal van 0 naar oneindig van x.e^(-px). (met p een reëel getal)

Ik kwam uit op 1/p².

Integraal van sin²x, dit is echt een moeilijke. Die lukte me niet.

[TD]

Integraal van 0 naar oneindig van x.e^(-px). (met p een reëel getal)

Ik kwam uit op 1/p²

Lijkt me goed.

Integraal van sin²x, dit is echt een moeilijke.   Die lukte me niet.

cos(2x) = cos²x-sin²x = 1-2sin²x sin²x = (1-cos(2x))/2

Dan levert integreren natuurlijk x/2-sin(2x)/4 + C

[Stef]

sorry, die laatste integraal was die van sin x².

[TD]

Ben je zeker dat je sin(x²) bedoelt? Lijkt me sterk dat ze dat zouden vragen, die heeft namelijk geen primitieve die te schrijven is in termen van elementaire functies.

[Stef]

Ben je zeker dat je sin(x²) bedoelt? Lijkt me sterk dat ze dat zouden vragen, die heeft namelijk geen primitieve die te schrijven is in termen van elementaire functies.

Eigenlijk was de vraag:

bereken de afgeleide van de bepaalde integraal van o tot x van sin(t²)dt.

[TD]

Zou het antwoord dan niet gewoon sin(x²) zijn...? Althans, ik denk dat het zo de bedoeling was, maar de vraag is nog niet duidelijk genoeg om zeker te zijn. Je zou namelijk ook kunnen zeggen dat na bepaalde integratie tussen die grenzen, het resultaat niet meer afhankelijk is van t en als x zelf onafhankelijk is van t, dan is die afgeleide natuurlijk 0 - als het afleiden naar t was...