Pittig bewijs: parallellogram in vierhoek

[Goldberry]

Ik heb het probleem dat ik dit moet bewijzen, maar ik kom er niet geheel uit:

Teken de vierhoek ABCD. Verbindt de middens van de zijden van deze vierhoek, en noem de ontstane vierhoek PQRS.

Bewijs dat PQRS een parallellogram is.

Ik kom er zelf helemaal niet meer uit, misschien dat jullie een hint hebben of iets dergelijks?

[mo]

Hier heb je amper papier voor nodig.

Teken eens de diagonaal AC, wat weet je over de middenparallel van een driehoek? (middenparallel, daarmee bedoel ik als je de helft van 2 zijden van een driehoek verbindt)

[Revelation]

Je kan stellen dat de overstaande zijde dezelfde lengte heeft omdat a²+b²=c². Daarna bereken je even de hoeken van die in de parallelogram en zie je dat de overstaande hoeken dezelfde zijn.

[Goldberry]

@ Revelation:

Pythagoras gaat niet op, want er zijn geen rechte hoeken? (

@ mo²:

Wat jij bedoelt is wat anders als een middenparallel.. een middenparallel staat op mijn formulekaart als de verzameling van alle punten die gelijke afstand hebben tot twee evenwijdige lijnen

We hebben het zeg maar over een willekeurige vierhoek, niet een vierkant of rechthoek, helaas.. anders was ik er al wel uit

edit:

Ok, ik weet nog steeds niet wat je met een middenparallel wilt mo², maar ik ben ondertussen zover dat ik alleen nog maar hoef te weten waarom AC evenwijdig is aan PQ.. dan kan ik vanuit daar namelijk verder met Z- en F-hoeken, geloof ik..

[Cycloon]

Evenwijdigheid kan je toch aantonen doormiddel van een assenstelsel en de richtingscoefficient van beide te berekenen?

[Goldberry]

Dat wordt niet toegestaan, want dat is dan specifiek voor die vierhoek zo, bij toeval misschien, maar is dat dan ook zo bij elke?

Tenminste, ik heb het eerder geprobeerd, en assenstelsels op zo'n manier gebruiken bij een bewijs opstellen wordt niet goedgekeurd.

[mo]

@ mo²:

Wat jij bedoelt is wat anders als een middenparallel.. een middenparallel staat op mijn formulekaart als de verzameling van alle punten die gelijke afstand hebben tot twee evenwijdige lijnen

We hebben het zeg maar over een willekeurige vierhoek, niet een vierkant of rechthoek, helaas.. anders was ik er al wel uit

Euhm

je hebt een gewone driehoek abc , midden van ac is K, midden van ab is M, verbindt nu K en M , is ze niet evenwijdig met cb ?

[Goldberry]

Hmm.. ik zeg niks meer (A)

Je hebt helemaal gelijk, maar ik was beetje te brak om het nog in te zien..

Ok, ik moet er nu wel uitkomen, dank je.

[mo]

Graag gedaan

[Safe]

Ik heb het probleem dat ik dit moet bewijzen, maar ik kom er niet geheel uit:

Teken de vierhoek ABCD. Verbindt de middens van de zijden van deze vierhoek, en noem de ontstane vierhoek PQRS.

Bewijs dat PQRS een parallellogram is.

Ik kom er zelf helemaal niet meer uit, misschien dat jullie een hint hebben of iets dergelijks?

Maak een goede ruime tekening met een willekeurig vierhoek ABCD.

Noem de middens van AB, BC, CD en DA achtereenvolgens P, Q, R en S.

Teken diagonaal AC. Nu is PQ middenparallel van drh ABC en er geldt: PQ=1/2ACen PQ evenwijdig AC. Maar ook RS is middenparallel van drh CDA en dus geldt weer RS=1/2AC en RS is evenwijdig AC.

Zodat PQ=RS en PQ en RS zijn evenwijdig, dan is PQRS een parallellogram.

[Goldberry]

Jep ik heb hem nu

Maar het punt bij jou, mo², was dat ik nog nooit van een middenparallel in een driehoek had gehoord.. alleen van evenwijdige lijnen.

Maar Safe, je vergeet een ding. Een parallellogram dient twee paar evenwijdige zijden te hebben, dus je vergeet de helft van je bewijs.

Ik heb hem zelf nu helemaal.

Dank jullie!

Dat ik dat ook niet zag eigenlijk.. (A)

[Brinx]

Safe's manier was wel compleet, hoor. Twee evenwijdige lijnen van gelijke lengte kunnen niet anders dan een parallellogram vormen wanneer je hun corresponderende einden met elkaar verbindt.

[mo]

safes manier was mijn manier ook, ik wou het niet helemaal verklappen, alleen maar een hint geven, maar ...

[Goldberry]

Safe's manier was wel compleet, hoor. Twee evenwijdige lijnen van gelijke lengte kunnen niet anders dan een parallellogram vormen wanneer je hun corresponderende einden met elkaar verbindt.

klopt, maar hij heeft nooit gezegd dat ze even lang zijn

Maar goed, mo², ik heb dus wel naar jou hint gewerkt. Ik wou posten dat ik hem had en met dat ik het poste zag ik zijn post

[Safe]

Ik heb het probleem dat ik dit moet bewijzen, maar ik kom er niet geheel uit:

Teken de vierhoek ABCD. Verbindt de middens van de zijden van deze vierhoek, en noem de ontstane vierhoek PQRS.

Bewijs dat PQRS een parallellogram is.

Ik kom er zelf helemaal niet meer uit, misschien dat jullie een hint hebben of iets dergelijks?

Maak een goede ruime tekening met een willekeurig vierhoek ABCD.

Noem de middens van AB, BC, CD en DA achtereenvolgens P, Q, R en S.

Teken diagonaal AC. Nu is PQ middenparallel van drh ABC en er geldt: PQ=1/2ACen PQ evenwijdig AC. Maar ook RS is middenparallel van drh CDA en dus geldt weer RS=1/2AC en RS is evenwijdig AC.

Zodat PQ=RS en PQ en RS zijn evenwijdig, dan is PQRS een parallellogram.

Ter attentie (zie boven):

Zodat PQ=RS en PQ en RS zijn evenwijdig, dan is PQRS een parallellogram.