Dubbele integraal.

[eXorikos]

Hoi,

Ik ben vandaag een lesje analyse gaan volgen aan de KUL in het kader van de Open lesdagen. Nu ging het over de stelling van Green en daarin kwamen dubbele integralen voor. Nu zit ik met de vraag: Wat is een dubbele integraal? :/

mvg

E

[rodeo.be]

Google is je vriend

Het integratie-interval hoeft geen kromme te zijn met één veranderlijke parameter. Men kan ook integreren over meer variabelen, men integreert dan bijvoorbeeld over een oppervlak of een volume. Men spreekt dan van respectievelijk een oppervlakte-integraal (dubbelintegraal, nvdr) en een volume-integraal (driedubbele integraal, nvdr).

Het komt erop neer dat je met een standaard integraal enkel over een "kromme" kunt integreren, met een dubbele integraal kan dat over een oppervlak.

[eXorikos]

Dus het maakt oppervlakteberekening een pak sneller en eenvoudiger? Wij doen oppervlakte- en volumeberekening met formules in een enkelvoudige integraal.

[Joachim]

Dus het maakt oppervlakteberekening een pak sneller en eenvoudiger? Wij doen oppervlakte- en volumeberekening met formules in een enkelvoudige integraal.

yups.

is in feite niets anders dan 2 keer enkelvoudig integreren.

[TD]

Dus het maakt oppervlakteberekening een pak sneller en eenvoudiger? Wij doen oppervlakte- en volumeberekening met formules in een enkelvoudige integraal.

Enkel in speciale gevallen kan je met een enkelvoudige integraal volumes berekenen (bepaalde omwentelingsvolumes bvb), met meervoudige integratie kan je complexere oppervlaktes en volumes bepalen, maar ook meer dan alleen dat.

De stelling van Green gaat nog verder, dan moet je ook het begrip lijnintegraal gezien hebben, waarbij je integreert over een bepaalde kromme. De stelling van Green geeft dan een identiteit die zo'n lijnintegraal omzet in een (over het algemeen makkelijker te bepalen) dubbele integraal.

[TD]

yups.

is in feite niets anders dan 2 keer enkelvoudig integreren.

Dat klopt niet, dat zou gewoon een herhaalde integraal zijn. Het is wel een manier om sommige dubbele integralen te bepalen, maar dat gaat in het algemeen niet. Bij een dubbele integraal integreer je letterlijk over een oppervlakte-eenheid, en om zo'n integraal uit te rekenen proberen we dit om te zetten in een herhaalde enkelvoudige integraal, maar dat kan dus niet altijd.

[Joachim]

yups.

is in feite niets anders dan 2 keer enkelvoudig integreren.

Dat klopt niet, dat zou gewoon een herhaalde integraal zijn. Het is wel een manier om sommige dubbele integralen te bepalen, maar dat gaat in het algemeen niet. Bij een dubbele integraal integreer je letterlijk over een oppervlakte-eenheid, en om zo'n integraal uit te rekenen proberen we dit om te zetten in een herhaalde enkelvoudige integraal, maar dat kan dus niet altijd.

?

welke oppervlak kan je niet uitrekenen door 2 keer te integreren ? (exotische functies als bessel enz.. even buiten beschouwing gelaten)

[TD]

welke oppervlak kan je niet uitrekenen door 2 keer te integreren ? (exotische functies als bessel enz.. even buiten beschouwing gelaten)

Het gaat niet over een bepaald oppervlak, het ging over het bepalen van een dubbele integraal. Dit kan in het algemeen, voor een willekeurig integratiegebied en met een willekeurige functie, niet door het probleem te herleiden naar een opeenvolging van twee enkelvoudige integralen.

Een dubbele integraal is iets anders dan twee enkelvoudige integralen achter elkaar, al is dit laatste vaak wel een methode om het eerste uit te rekenen, voor zover dat in dat geval mogelijk is...

[Joachim]

welke oppervlak kan je niet uitrekenen door 2 keer te integreren ? (exotische functies als bessel enz.. even buiten beschouwing gelaten)

Het gaat niet over een bepaald oppervlak, het ging over het bepalen van een dubbele integraal. Dit kan in het algemeen, voor een willekeurig integratiegebied en met een willekeurige functie, niet door het probleem te herleiden naar een opeenvolging van twee enkelvoudige integralen.

Een dubbele integraal is iets anders dan twee enkelvoudige integralen achter elkaar, al is dit laatste vaak wel een methode om het eerste uit te rekenen, voor zover dat in dat geval mogelijk is...

kan je daar eens een voorbeeld van geven

[TD]

Van wat precies?

[Diadem]

Zoals altijd is Wikipedia je vriend

Een dubbele integraal is gelijk aan geïtereerde integraal (dus twee enkelvoudige integralen na elkaar) voor alle functies die absoluut integreerbaar zijn. Dat wil zeggen dat de integraal over het absolute van de functie convergeert.

In de praktijk zul je weinig situaties tegenkomen waarin dit niet het geval is.

[Joachim]

Zoals altijd is Wikipedia je vriend

Een dubbele integraal is gelijk aan geïtereerde integraal (dus twee enkelvoudige integralen na elkaar) voor alle functies die absoluut integreerbaar zijn. Dat wil zeggen dat de integraal over het absolute van de functie convergeert.

In de praktijk zul je weinig situaties tegenkomen waarin dit niet het geval is.

maar kan er dan niemand een voorbeeld van een dubbele integraal geven waar dit niet het geval is ? wikipedia heeft het enkel over het uitwerken van die integralen.

dank.

[Diadem]

Ja hoor. Deze integraal bijvoorbeeld:

\(\int_0^1 \int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dy dx\)

Voor de uitwerking van deze integraal verwijs ik je graag naar deze pagina op wikipedia.

[Joachim]

dat wordt toch ook opgelost door gewoon 2 keer te integreren ? (dat lijkt me toch wat ze op wikipedia doen, zij het dan wel met een substitutietruukje)

[Diadem]

Ja, maar het punt is dus dat de volgorde van integreren bij deze integraal uitmaakt.

\(\int_0^1 \int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dy dx = \frac{\pi}{4}\)

en

\(\int_0^1 \int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dx dy = \frac{-\pi}{4}\)

Dit is dus normaal niet zo. In verreweg de meeste situaties mag je de volgorde van een geïtereerde integraal klakkeloos omdraaien. In deze gevallen is deze geïtereerde integraal ook gelijk aan de dubbele integraal. Hier dus niet, omdat deze functie niet absoluut integreerbaar is:

\(\int_0^1 \int_0^1 \left| \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \right| dy dx = \infty\)