[Wiskunde]afgeleide goniometrische functies

[dreamz]

De opgave is de volgende: bereken de afgeleide van

\(f(x)= \frac{1}{4}(\tan^4(x)-\cot^4(x))+2(\tan^2(x)-\cot^2(x))+6\ln(\tan(x))\)

Deze is te berekenen, maar ik moet hem herleiden naar een eenterm

Ik kom alvast uit:

f'x= (sin^8x+cos^8x)/(cos^5xsin^5x)+(sin^4x+cos^4x)/(cos^3xsin^3x) + (6)/(sinxcosx)

Maar vind geen manier om hem om te zetten

[jelix]

Beetje veel werk om het uit te schrijven, maar je kunt het ook door maple laten doen.

[Safe]

Er komt

\(\frac{1}{\sin^5(x)*\cos^5(x)}\)

uit.

Dit impliceert dat de primitieve hiervan f(x) oplevert, natuurlijk met een integratieconstante

[dreamz]

Tuurlijk, dat versta ik, alleen de "stappen" die mapple neemt vind ik moeilijk om terug te vinden. Maar nu ik de uitkomst weet kan ik er naar toe werken, alvast bedankt.

Trouwens dat programma, is dat freeware?

[Safe]

De uitkomst van 'simplify' heb ik over het hoofd gezien.

Maar als je niet uit de vereenvoudiging komt, laat dat dan even weten!

[dreamz]

bij deze laat ik het je weten: is het mogelijk de "simplify" even te posten aub?

[Diadem]

Je zou sin(x)^5 * cos(x)^5 nog kunnen herschrijven via:

\(\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\)

Dit geeft:

\(\frac{1}{\cos(x)^5\sin(x)^5}=\frac{32}{(2\cos(x)\sin(x))^5}=\frac{32}{\sin(2x)^5}=32\csc(2x)^5\)

[Safe]

Je overvalt me wel met je vraag en gelukkig heb ik die notities nog niet weggegooid.

Ik ga uit van f:

\(f(x)=\frac{\tan^4x-\cot^4x}{4}+2(\tan^2x-\cot^2x)+6\ln(\tan x)\)

\(f'(x)=\frac{1}{4}(4\tan^3x(1+\tan^2x)-4\cot^3x(-1-\cot^2x))+2(2\tan x(1+\tan^2x)-2\cot x(-1-\cot^2x))+6\frac{1}{\tan x}(1+\tan^2x)\)

\(f'(x)=\tan^3x(1+\tan^2x)+4\tan x(1+\tan^2x)+\cot^3x(1+\cot^2x)+4\cot x(1+\cot^2x)+\frac{6}{\tan x}(1+\tan^2x)\)

\(f'(x)=\tan x(1+\tan^2x)(\tan^2x+4)+\cot x(1+\cot^2x)(\cot x(\cot^2x+4)+\frac{6}{\tan x}(1+\tan^2x)\)

Je ziet, ik probeer de 'symmetrie' te behouden en ga nu over op sin en cos.

Hierbij heb ik sin²x+cos²x=1 herhaalde malen gebruikt.

\(f'(x)=\frac{\sin x}{\cos x}.\frac{1}{\cos^2x}.\frac{1+3\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{1}{\sin^2x}.\frac{1+3\sin^2x}{\sin^2x}+6\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{1}{\cos^2x}\)

Nu alles onder dezelfde noemer brengen

\(f'(x)=\frac{\sin^6x(1+3\cos^2x)+\cos^6x(1+3\sin^2x)+6\sin^4x\cos^4 x}{\sin^5x\cos^5x}\)

De derde term in de teller verdelen we in 3...+3... en halen sin^4x en cos^4x buiten haakjes.

\(f'(x)=\frac{\sin^4x(\sin^2x(1+3\cos^2x)+3\cos^4x)+\cos^4x(\cos^2x(1+3\sin^2x)+3\sin^4x)}{sin^5x\cos^5x}\)

Nu is: \(\sin^2x(1+3\cos^2x)=(1-\cos^2x)(1+3\cos^2x)=1+2\cos^2x-3\cos^4x\) en in de volgende term iets soortgelijks geeft

\(f'(x)=\frac{\sin^4x(1+2\cos^2x)+\cos^4x(1+2\sin^2x)}{\sin^5x\cos^5x}\)

Hier zal je in deze stap iets zelf moeten doen.

\(f'(x)=\frac{\sin^4x+\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x}{\sin^5x\cos^5x}\)

\(f'(x)=\frac{(\sin^2x+\cos^2x)^2}{\sin^5x\cos^5x}\)

\(f'(x)=\frac{1}{\sin^5x\cos^5x}\)