meetkundige reeks

[eric kortenhoef]

Ik begrijp de meetkundige reeks niet echt goed. Ben voor het eerst

met de meetkundige reeks in aanraking gekomen tijdens mijn studie

bedrijfseconomie. De meetkundige reeks werd toen gebruikt voor

het uitrekenen van de eindwaarde als bv over 10 jaar ieder jaar een

bedrag van 1000 word ontvangen en waarbij over de laatste 9 jaar

bovenop deze bedragen ook nog is een rente wordt ontvangen van 8%.

Door de manier van toetsing op het tentamen is het

nooit echt nodig geweest om deze reeks echt te begrijpen.

Kan iemand mij misschien helpen met een formule opstellen voor het

bovengenoemde voorbeeld en ook bewijzen waarom die formule geldt?

gr Eric

[Stefan]

Voor -1<x<1 geldt

1+x+x^2+x^3 +..... =1/(1-x)

[Elmo]

Zie hier: Geometric Series en kijk naar formule 7. Formule 8 is het limietgeval voor n -> oneindig.

Indien je de som laat lopen van k=0, in plaats van k=1 zoals in mijn voorbeeld, en je laat de som doorlopen tot oneindig, dan vind je Stefan's resultaat terug.

Schets van het bewijs:

1) zie in dat deze relatie geldt als je k=1 tot k=2 neemt.

2) neem aan dat de relatie geldt voor k=1 tot k=i.

3) toon aan dat de relatie dan ook geldt voor k=1 tot k=i+1 d.m.v. uitschrijven.

4) klaar, wegens inductie.

(Edit: wegens veranderende links op de MathWorld site.)

[Bert]

Ik begrijp de meetkundige reeks niet echt goed. Ben voor het eerst

met de meetkundige reeks in aanraking gekomen tijdens mijn studie

bedrijfseconomie. De meetkundige reeks werd toen gebruikt voor

het uitrekenen van de eindwaarde als bv over 10 jaar ieder jaar een

bedrag van 1000 word ontvangen en waarbij over de laatste 9 jaar

bovenop deze bedragen ook nog is een rente wordt ontvangen van 8%.

Door de manier van toetsing op het tentamen is het

nooit echt nodig geweest om deze reeks echt te begrijpen.

Kan iemand mij misschien helpen met een formule opstellen voor het

bovengenoemde voorbeeld en ook bewijzen waarom die formule geldt?

gr Eric

Het is eigenlijk heel simpel.

De meetkundige reeks heeft termen die geschreven kunnen worden als:

a, ar, ar^2, ar^3, .. ar^n

De som van de eerste n termen is:

S(n)=a+ar+ar^2+ar^3+..+ar^n

Vermenigvuldig je nu linker en rechterlid met r dan krijg je:

rS(n)=ar+ar^2+ar^3+ .. + ar^(n+1)

Trek de oorspronkelijke reeks hiervan af en je krijgt (omdat het grootste deel wegvalt):

rS(n)-S(n)=ar^(n+1)-a

Ofwel

S(n)=a(r^(n+1)-1)/(r-1)

Als je bij |r|<1 de limiet neemt voor n naar oneindig dan kom je op de formule voor Stefan uit, maar ik neem aan dat je in de economie juist een eindig aantal termen gebruikt.

[eric kortenhoef]

bedankt voor jullie reacties

[Anonymous]

Sorry mensen, jullie antwoord is niet correct. Ik ben wiskundeleraar in België. Je werkwijze is wel goed, maar de som van de eerste n termen eindigt met de macht n-1. gevolg is dat je in je eindformule niet r tot de n+1 ste krijgt wel tot de nde.

Groetjes

Mike