Functie in hun ruimte

[atanhel]

stel ik heb een isomorfisme tussen een vectorruimte V en W, waarvoor geldt dat

V ~= W.

Nu dit isomorfisme noem ik rho.

Stel nu dat ik weer een isomorfisme, sigma van rho naar zichzelf maak,

wat is dan de dimentie van de functieruimte die ik net gemaat heb?

er geldt gatuurlijk dat rho ~= rho, maar hoe staat sigma tot rho en V ( waar ze vandaan kwam).

en hoe zit dit als V geen vectorruimte is maar een groep?

( en in hoevre heeft het effect als rho een isomorfisme van V naar zichzelf is?)

Thanks,

atanhel

[Rogier]

stel ik heb een isomorfisme tussen een vectorruimte V en W, waarvoor geldt dat  

V ~= W.

Nu dit isomorfisme noem ik rho.

Stel nu dat ik weer een isomorfisme, sigma van rho naar zichzelf maak,  

wat is dan de dimentie van de functieruimte die ik net gemaat heb?

er geldt gatuurlijk dat rho ~= rho, maar hoe staat sigma tot rho en V ( waar ze vandaan kwam).

en hoe zit dit als V geen vectorruimte is maar een groep?

( en in hoevre heeft het effect als rho een isomorfisme van V naar zichzelf is?)

Thanks,

atanhel

Volgens mij haal je een paar dingen door elkaar. V en W zijn vectorruimten, en je hebt een isomorfisme

\(\rho : V \rightarrow W\)

. En dan is er nog een isomorfisme

\(\sigma\)

, waarvan je zegt "van

\(\rho\)

naar zichzelf", maar

\(\rho\)

is een functie, geen ruimte. Van en naar welke verzameling werkt

\(\sigma\)

nu?

Je zegt bovenaan trouwens "waarvoor geldt dat

\(V \cong W\)

". Vergis ik me nu in de notatie of bedoel je daarmee dat V en W isomorf zijn? Want dat volgt per definitie uit het feit dat er een isomorfisme tussen die twee bestaat, hetgeen al gegeven is.

[atanhel]

Volgens mij haal je een paar dingen door elkaar. V en W zijn vectorruimten, en je hebt een isomorfisme

\(\rho : V \rightarrow W\)

. En dan is er nog een isomorfisme

\(\sigma\)

, waarvan je zegt "van

\(\rho\)

naar zichzelf", maar

\(\rho\)

is een functie, geen ruimte. Van en naar welke verzameling werkt

\(\sigma\)

nu?

Je zegt bovenaan trouwens "waarvoor geldt dat

\(V \cong W\)

". Vergis ik me nu in de notatie of bedoel je daarmee dat V en W isomorf zijn? Want dat volgt per definitie uit het feit dat er een isomorfisme tussen die twee bestaat, hetgeen al gegeven is.

Nu ja, wat dat laatste betreft heb je gelijk, voor een vectorruimte, maar ik wete niet of dat ook het geval voor een groep is.

Verder is een functie van een vectorruimte naar een vectorruimte natuurlijk ook ene vectorruimte ( optelling is behouden, heeft ene eenheidselement en scalaire vermenigvuldiging geldt).

Dit geldt trouwens zeker ook voor een groep.

[Rogier]

Nu ja, wat dat laatste betreft heb je gelijk, voor een vectorruimte, maar ik wete niet of dat ook het geval voor een groep is.

Voor zover ik weet is de definitie van isomorf(isme) niet speciaal toegespitst op alleen een vectorruimte, en geldt er:

"V en W zijn isomorf

\(\Leftrightarrow V \cong W \Leftrightarrow\)

er bestaat een isomorfisme tussen V en W"

ongeacht of V en W nu lichamen, vectorruimten, groepen, enz. zijn.

(Ik schrijf trouwens maar daarmee bedoel ik niet zozeer dat die drie uitspraken een gevolg van elkaar zijn, ze betekenen gewoon letterlijk hetzelfde)

Verder is een functie van een vectorruimte naar een vectorruimte natuurlijk ook ene vectorruimte ( optelling is behouden, heeft ene eenheidselement en scalaire vermenigvuldiging geldt).

Dit geldt trouwens zeker ook voor een groep.

Het beeld van de functie misschien, maar de functie zelf toch niet? Welke elementen zitten er in

\(\rho\)

?

Kun je anders eens een voorbeeld noemen?

[atanhel]

Het beeld van de functie misschien, maar de functie zelf toch niet? Welke elementen zitten er in

\(\rho\)

?  

Kun je anders eens een voorbeeld noemen?

Ik zie je punt over isomofisme, en ik denk dat je gelijk hebt.

Maar even over de functieruimte van rho:

stel ik heb een groep en vind een rho die een spiegeling geeft in de R^2 in de x as.

dan kun je rho voorstellen als een 2 dimensionale matrix met een 1 en ene -1 in op de diagonaal en voor de rest nullen.

Dus dat is een ruimte op zich.

Cheers,

atanhel

[Rogier]

Wat heeft de groep ermee te maken? Je kunt inderdaad een functie definieren m.b.v. de matrix

\(\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 0 & -1 \end{array} \right]\)

Deze lineaire functie spiegelt elementen in ² in de x-as. Maar deze functie is toch geen ruimte?

[atanhel]

Wat heeft de groep ermee te maken? Je kunt inderdaad een functie definieren m.b.v. de matrix

\(\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 0 & -1 \end{array} \right]\)

Deze lineaire functie spiegelt elementen in ² in de x-as. Maar deze functie is toch geen ruimte?

Maar je kunt deze functies toch ene ruimte late opspannen?

En daar je V oneindig groot kan zijn zal je functie ruimte alles behalve leeg zijn.

En wat ene groep ermee te maken heeft?

als je ook nog een draaiing definieerd, heb je de C^n groepen, de reden tot mijn vraag