[Wiskunde] puzzels

[keto]

greets

ik heb een tijdje geleden meegedaan aan een wiskunde quiz en heb daarvan wel de uitslag gehad maar niet de antwoorden erbij

ik heb 2 vragen (of puzzels) van die quiz onthouden die ik niet echt goed begreep en daarvan zou ik graag de antwoorden willen weten:

(ik heb gezocht met de zoekfunctie maar kon niks vinden, dus aub niet boos worden als er al naar deze puzzels gevraagd is)

puzzel 1:

Voor een hoge muur staat op 1 meter afstand een schutting van 2 meter hoog.

Tegen de muur wordt een ladder gezet van 6 meter lengte, zodat de ladder net op de schutting leunt.

op welke afstand van de schutting staat de ladder?

(iemand vertelde me dat je pythagoras moet combineren met gelijkvormige driehoeken)

puzzel 2:

een stuk tentzeil van 36m² moet een zo groot mogelijke (wat betreft inhoud) piramidetent gemaakt worden (vierkant grondzeil met 4 evengrote zijkanten)

geef de afmetingen van de piramidetent

Ik zou het zeer op prijs stellen als iemand me de antwoorden + berekeningen kan geven.

dank, Joost.

[bibliotheek357]

bij puzzel 1 zou ik eerder de stelling van Thales gebruiken....

[keto]

waarom de stelling van Thales?

ik heb geen idee wat de middelloodlijn dan moet zijn

[Safe]

keto, de gelijkvormige drieh, zegt je dat iets?

Heb je een nette tekening, dan kan je zien dat er twee mogelijke opl zijn, de ladder steil en vrij vlak.

De berekening is lastig maar met een GR (heb je die?) eenvoudig uit te voeren, of heb je misschien op je computer een goed wiskundeprg.

Ook is het mogelijk bv met Excel berekeningen te maken.

[U-Quark]

Met puzzel 2 zou je de stelling van Pythagoras kunnen gebruiken en dan nog het grondvlak erbij nemen. Maar dat wordt dan wel een beetje puzzelen.

[gilles]

puzzel 2:

ik denk dat je de hoeken van het 4kant (6 bij 6) naar binnen kan vouwen, er ontstaat dan een nieuw vierkant met zijde a

opp = a^2

h(piramide) = wortel( (3wortel(2) - 0,5a)^2 - (0,5a)^2 )

deze h vul je in de formule van de inhoud van een piramide in

met behulp van de afgeleide kan a bepaald worden waarvoor de inhoud maximaal is

succes!

[keto]

keto, de gelijkvormige drieh, zegt je dat iets?

Heb je een nette tekening, dan kan je zien dat er twee mogelijke opl zijn, de ladder steil en vrij vlak.

De berekening is lastig maar met een GR (heb je die?) eenvoudig uit te voeren, of heb je misschien op je computer een goed wiskundeprg.

Ook is het mogelijk bv met Excel berekeningen te maken.

Gelijkvormige driehoek zegt me wel iets ja, maar je komt 1 gegeven tekort..

het gaat er hier overigens wel om dat je alles berekent en niet meet

http://s51.photobucket.com/albums/f366/Saf...nt=gegevens.jpg

daar staat een eenvoudige schets van alle gegevens die je hebt, ik kan er niks mee oplossen

@ U-Quark, je hebt gelijk maar via die manier kan je wel bij het antwoord komen maar je moet het bereken

@ Gilles, ik heb geprobeerd wat je me vertelde alleen ik kom op een heel raar getal uit, dat zal vast wel aan mij liggen maar ik puzzel lekker verder

En iedereen bedankt die me probeert te helpen met deze puzzels!!

[Safe]

Meten heb ik niet gesuggereerd.

In je figuur moet je nog een lijn trekken van snijpunt ladder-schutting evenwijdig aan blauw naar links tot zwart, dan heb je een kleine en een grote driehoek die grenzen aan de rechthoek. Die twee drieh zijn gelijkvormig.

Noem de verticale zijde van de kleine drh 2y en de horizontale zijde van de grote drh x, dan volgt:

2y:2=1:x .

Dus 2xy=2 of xy=1 (1)

Met Pythagoras volgt (2y+2)²+(x+1)²=6² (2)

De verg (1) en (2) vormen een stelsel waaruit x en y op te lossen zijn en er moeten (natuurlijk) twee opl zijn.

Met een GR zou dit in benadering moeten lukken!

[gilles]

puzzel 2:

ik denk dat je de hoeken van het 4kant (6 bij 6) naar binnen kan vouwen, er ontstaat dan een nieuw vierkant met zijde a

opp = a^2

h(piramide) = wortel( (3wortel(2) - 0,5a)^2 - (0,5a)^2 )

deze h vul je in de formule van de inhoud van een piramide in

met behulp van de afgeleide kan a bepaald worden waarvoor de inhoud maximaal is

succes!

ik had het zo aangepakt

I(piramide) = (1/3)opp* h^3

I(piramide) = (1/3)a^2 * (wortel( (3wortel(2) - 0,5a)^2 - (0,5a)^2 ))^3

benadering met GR:

I is maximaal bij a = 2,42...

I = (1/3)2,42...^2 * (wortel( (3wortel(2) - 0,5*2,42...)^2 - (0,5*2,42...)^2 ))^3

I = (1/3)2,42...^2 * 2,78...^3

I = 41,98... m^3

nb.

opp piramide = 4(0,5(2,42...(3wortel(2) - 0,5*2,42...))) + 2,42...^2 = 20,53... < 36

misschien kan iemand dit bevestigen

[keto]

@ Safe:

edit: leesfout

ik probeer m nu op te lossen

(plaatje updated)

http://s51.photobucket.com/albums/f366/Saf...nt=b8fe58ac.jpg

@ Gilles:

je zegt: I(piramide) = (1/3)opp* h^3

waarom doe je de hoogte^3? de formule voor inhoud is gewoon (1/3)opp grondvlak*h?

[keto]

@ safe

ik heb m proberen op te lossen maar ik ben niet zo heel erg handig met een GR maar ik ken wel wat mensen die er wel heel handig mee zijn, maar ik weet niet zeker of die er handig genoeg mee zijn om zo'n vergelijking op te lossen.

als ik de vergelijking: (2y+2)²+(x+1)²=6² uitwerk krijg ik het volgende:

4y² + 8y + x² + 2x = 31

en niet vergeten: xy=1

hier komen ik niet meer verder, ook niet met GR

Door alles op maat te tekenen zie je wel dat de verticale zijde van de grote driehoek meer dan 2 maar minder dan 3

en de horizontale zijde iets meer dan 5 maar minder dan 6

[Safe]

Uit xy=1 volgt y=1/x. Dit vul je voor y in, in de eerste verg, daarna herleid je op 0.

Dus ... -31=0 en neem dan de GR.

y1= ... -3, deze functie plotten waarbij je weet dat x tussen 0 en 6 ligt.

Je kan nu met [trace] nulptn bepalen. Je vindt er twee, behorend bij de twee opl.

Uiteraard zijn dit benaderingen!

Ben benieuwd naar je vorderingen en uiteraard moet je begrijpen wat er gebeurt!

Opm: denk vooral aan haakjes bv 4y² wordt 4*(1/x)².

[aadkr]

Als ik de hoek die de ladder maakt met de horizontaal ( alfa ) noem, dan krijg ik 2 oplossingen: alfa= 23,68 graden en alfa = 75,25 graden

[keto]

Als ik de hoek die de ladder maakt met de horizontaal ( alfa ) noem, dan krijg ik 2 oplossingen:  alfa= 23,68 graden en alfa = 75,25 graden

krijg je die door te meten of door te berekenen?

als het komt door te berekenen dan zou ik graag willen weten hoe je het hebt gedaan want als dat kan, kan je het berekenen met sinus/cosinus/tangens.

(ik heb t antwoord nu al, zie hieronder, maar ik ben toch benieuwd)

@ safe

dank voor de uitleg en het is nu wel wat duidelijker

ik heb er nu 2 geplot in me GR:

Y1: 1/x

Y2: 4*(1/x)²+8*(1/x)²+x²+2x-31

ik heb (zoals je al had gezegd) 2 snijpunten waarvan ik er bij 1 kom op 4.478...

dat is toevallig precies het antwoord dat ik kreeg door het op te meten (wat dus eigenlijk niet mocht maar dacht dat dat kon helpen om achter de berekening te komen)

en het 2e snijpunt zit bij 0.525...

ik ga nog even alles invullen en met pythagoras controleren of alles wel precies klopt.

[keto]

ze kloppen allebei, hardstikke bedankt!!

alleen 1 ding snap ik nog niet van de hele berekening:

waarom noemde je de verticale zijde van de kleine drh 2y en niet gewoon y of maakt dat niks uit in het verloop van de berekening?

nogmaals hardstikke bedankt!!