[wiskunde] integralen / integreren

[dr. E. Noether]

Ja, een kleinigheidje: A + B = 0 => A = -B.

EDIT >> Wat je doet heet trouwens schrijven als partieelbreuken of breuksplitsing. Partiële integratie is wat anders.

[ra]

ej, ik heb een vraagje

torus inhoud via integralen, hoe bereken je dat

eigenlijk zit ik hier al vast =>

vergelijking torus: x² + (y-b)² = r²

en dan zeggen ze y² = +- wortel (r²-x²) + b

maar kan dat? want

want (y-b)² = y² - 2by + b²

en hoe moet het dan verder?

[ra]

hoe bereken je de booglengte van een cycloïde via de parametervergelijking?

[TD]

vergelijking torus:  x² + (y-b)² = r²  

en dan zeggen ze y² = +- wortel (r²-x²) + b

maar kan dat? want

want (y-b)² = y² - 2by + b²

en hoe moet het dan verder?

Om te beginnen is dat een vergelijking van een cirkel met straal r en middelpunt (0,b).

Je gaat de inhoud van de torus namelijk berekenen via twee omwentelingsvolumes. Eerst bepaal je dat van de bovenste helft van de cirkel, maar dan heb je teveel: je krijgt dan een volledige (staande) 'schijf', zoals een kaasvorm. Daarna trek je er het omwentelingsvolume van de onderste cirkel van af. De formule om y = f(x) rond de x-as te wentelen, tussen grenzen a en b, is:

\(V = 2\pi \int\limits_a^b {y^2 dx}\)

Het is daarom dat je de vergelijking oplost naar y:

\(x^2 + \left( {y - b} \right)^2 = r^2 \Leftrightarrow \left( {y - b} \right)^2 = r^2 - x^2 \Leftrightarrow y - b = \pm \sqrt {r^2 - x^2 } \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {r^2 - x^2 } + b\)

Hierin is de positieve wortel de bovenste cirkel en de negatieve wortel de onderste.

[TD]

hoe bereken je de booglengte van een cycloïde via de parametervergelijking?

Geef eens de parametervergelijking die je gebruikt voor een cycloïde en ook de (integraal)formule die je gezien hebt om de booglengte te berekenen.

[ra]

bedankt voor je uitleg!

parametervgl :

x= r(α - sin α)

y= r(1 - cos α)

formule booglengte: integraal [a,b] wortel [(1 + f'(x)²)] * dx

[TD]

Heb je voor de booglengte geen variant gezien voor parameterkrommen?

[ra]

owja ...

integraal [t1, t2] wortel [x'(t)² +y'(t)²] * dt

[TD]

Inderdaad. Wel, je hebt x(t) en y(t) (hier is t = jouw α btw), dus bepaal dan x'(α) en y'(α), sommeer de kwadraten en neem de wortel. Dat moet al lukken.

Je integreert van 0 tot 2pi, dan is één boog doorlopen. Als je de integraal niet kan uitrekenen, probeer hem dan op z'n minst op te stellen en laat zien hoe ver je geraakt.

[ra]

Inderdaad. Wel, je hebt x(t) en y(t) (hier is t = jouw α btw), dus bepaal dan x'(α) en y'(α), sommeer de kwadraten en neem de wortel. Dat moet al lukken.

Je integreert van 0 tot 2pi, dan is één boog doorlopen. Als je de integraal niet kan uitrekenen, probeer hem dan op z'n minst op te stellen en laat zien hoe ver je geraakt.

mja, maar die integraaluitrekening is het probleem niet

ik heb als oplossing in mijn schrift voor y'= r(1 + sin a)

maar de afgeleide van 1 is toch nul; dus zou dat niet r sin a moeten zijn

en daarmee dacht ik dat de gehele oplossing mis was

toch bedankt

[TD]

maar de afgeleide van 1 is toch nul; dus zou dat niet r sin a moeten zijn

Klopt.

[Rov]

[ De formule om y = f(x) rond de x-as te wentelen, tussen grenzen a en b, is:

\(V = 2\pi \int\limits_a^b {y^2 dx}\)

Zonder die 2, niet? Of zit ik nu fout?

[TD]

Nee, dat klopt: die 2 moet er niet staan. Het komt immers van oppervlakte van cirkels met straal y, vandaar

\(\pi \cdot y^2\)

.

[Cleopatra]

Hoi, een zou iemand kunnen nakijken of deze juist is??

\(\int\frac{\sin2x}{(2+\sinx)^2}.dx\)

\(=\int\frac{2\sinx\cosx}{2+2\sinx+\sin^2x}.dx\)

Stel:

sinx=t

cosx.dx=dt

\(=\int\frac{2t.dt}{2+2t+t^2}\)

\(=\int\frac{2t+2-2}{t^2+2t+2}.dt\)

\(=\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}.dt+\int\frac{-2}{(t+1)^2+1}dt \)

\(=\ln(t^2+2t+2) - 2. Bg\tan(t+1)+C\)

en dan daarna nog de t vervangen door sinx... klopt dit??

[Rov]

Hoi, een zou iemand kunnen nakijken of deze juist is??  

\(\int\frac{\sin2x}{(2+\sinx)^2}.dx\)

\(=\int\frac{2\sinx\cosx}{2+2\sinx+\sin^2x}.dx\)

Je maakt daar al een fout, in te noemer komt er een 4, geen 2.

Voor de rest lijkt me alles ok .