[WISKUNDE] Voorbereiden voor colloquium doctum...

[Etudiant]

Momenteel ben ik bezig met een voorbereiding voor een zogeheten colloquium doctum(toelatingsexamen).

Er is een studie aan de universiteit waaraan ik graag wil deelnemen, helaas voldoe ik niet aan de eisen als het gaat om een vooropleiding.

Echter wordt ik wel toegelaten als ik een examen Wiskunde A1,2 en B1 succesvol afrond. Ik hoop dat ik deze topic kan gebruiken en hierin

mijn problemen kan plaatsen. Ik hoop dat er gelegenheid voor mij is om al mijn problemen hierin kwijt te kunnen. Op deze manier voorkom

ik dat er mogelijk 5 (of meer) topics door mij geopend worden. Als het niet kan hoor ik het graag van een moderator. Alvast bedankt voor jullie hulp!

[Etudiant]

Ik heb nu een vraag over vierkantsvergelijkingen, namelijk de volgende opgave:

\(x^2-x-1\)

antwoord:

\(\frac{1}{2}x^2 +x-2=\frac{1}{2}(x+1-\sqrt{5})(x+1+\sqrt{5})\)

Het antwoord is mij niet duidelijk, bij deze volgende opgave

\(x^2-x+1\)

is de discriminant -3, hierdoor kan deze vergelijking niet ontbonden worden in factoren.

Ik begrijp de methode en manier niet waardoor deze vergelijking

\(x^2-x-1\)

wel ontbonden kan worden, alvast bedankt voor het antwoord!

[Bert F]

gegeven is

\(x^2-x-1\)

de discriminat

\(d=b^2-4ac\)

dus

\(d=1-4*1*-1\)

dus wordt de discriminant 5 niet 3

dus

\(x_{1,2}=\frac{-b+-\sqrt{d}}{2a}\)

dus zowel de positieve als negatieve wortel.

Kun je dit berekenen?

[Etudiant]

Hallo Bert,

\(x^2+x+1\)

Dit was een andere opgave, waarbij de D -3 is, dus -3<0 is dan onontbindbaar. Hierbij was het +1, de volgende heeft -1.

\(x_{1,2}=\frac{-1+-\sqrt{5}}{2*1}\)

=

\(-\frac{1}{2}+\sqrt{5}\)

en

\(-\frac{1}{2}-\sqrt{5}\)

dus het antwoord is(?):

\(x^2+x-1 = (x-\frac{1}{2}+\sqrt{5})(x-\frac{1}{2}-\sqrt{5})\)

[Bert F]

nee het antwoord is hier dan ook niet reel heb je al met complexe getallen gewerkt?

Zo nee dan kun je dit gewoon niet oplossen je hebt immers

\(d=1-4*1*1\)

en een vierkants wortel in het reele veld bestaat niet.

kun je, je opgave eens beter geven en dan net aangeven waar het probleem zit? want ik ben hier in de war aan het geraken.je geeft de formule voor het bereken van de oplossingen zonder de eigenlijke vierkantsvergelijking erbij te geven.

Groeten.

[Etudiant]

Sorry, het is geen vierkantsvergelijking ik het iets verward.

De opgave luidt:"Ontbind in zoveel mogelijk factoren:"

\(x^2+x-1\)

Ik wist niet precies hoe ik dit moest aanpakken, maar de D is wel een 5, mijn antwoord heb ik in mijn vorige post staan. Ik twijfel of dit de juiste antwoord, het wijkt namelijk af van hetgeen ik in het boek heb staan.

[TD]

De discriminant van die laatste opgave is inderdaad positief, misschien lopen verschillende oefeningen door elkaar hier?

\(x^2 + x - 1 = \left( {x + \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {x + \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\)

[Etudiant]

De discriminant van die laatste opgave is inderdaad positief, misschien lopen verschillende oefeningen door elkaar hier?

\(x^2  + x - 1 = \left( {x + \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {x + \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\)

Bedankt!!

Verbazend vind ik toch dat het antwoord in het boek niet overeen komt met deze, in het boek staat het namelijk als volgt:

\(\frac{1}{2}x^2 +x-2=\frac{1}{2}(x+1-\sqrt{5})(x+1+\sqrt{5})\)

[TD]

Maar x²+x-1 is ook niet hetzelfde als x²/2+x-2....

[Etudiant]

Nog een probleem, er zijn een aantal breuken die vereenvoudigd moeten worden.

Opgave I

\(\left {\frac{{a^2-b^2 }}{a-b}} \right\left = a+b \)

Opgave II

\(\left {\frac{{a^2+b^2 }}{a+b}} \right\left =\)

is niet te vereenvoudigen

Ik was bezig met oefenopgaves, opgave I vind ik een logische antwoord hebben, ik paste hetzelfde toe aan opgave II. Dit is onjuist, waarom kan opgave II niet vereenvoudigd worden?

Alvast bedankt voor uw tijd en reactie.

[Bert F]

ik kan bij het eerste volgende proberen

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2\)

en dus heb ik

\(\frac{(a-b)(a+b)}{a-b} \)

aldus bekom ik

\(a+b\)

bij het tweede zie ik niet direct een nulp versta je dat? twee strikt positieve getallen leveren onmogelijk een nulpunt dus ook niet te splitsen.

Want bij dat splitsen ga je net opzoek naar nulpunten.

Oké?

[Etudiant]

Bedankt Bert, u helpt mij wederom goed op weg!

[Etudiant]

Er zijn een aantal opgaven waarmee ik wederom in de knoop zit, voor het gemak heb ik de antwoorden erbij gezet.

Bereken:

Opgave A

\(\left {\frac{{1 }}{a+2}} \right\left -\left {\frac{{1 }}{a-2}} \right\left + \left {\frac{{a^2 }}{a^2-4}} \right\left = 1\)

Opgave B

\(1 -\left {\frac{{2a }}{a-b}} \right\left + \left {\frac{{4ab }}{a^2-b^2}} \right\left =-\left {\frac{{a-b }}{a+b}} \right\left \)

Opgave C

\(\left {\frac{{1 }}{2a-1}} \right\left -\left {\frac{{1 }}{a+1}} \right\left * \left {\frac{{1 }}{a-2}} \right\left =-\left {\frac{{1 }}{(2a-1)(a+1)}} \right\left\)

Opgave D

\(\left {\frac{{a-1 }}{a+1}} \right\left *\left {\frac{{1 }}{a^2-1}} =\left {\frac{{1 }}{(a+1)^2}}\)

Opgave E

\(\left {\frac{{a-1 }}{1}} \right\left *\left {\frac{{a^2-1 }}{a+1}} = (a-1)^2\)

Ik kom helaas niet verder dan...

Opgave A

\(\left {\frac{{1 }}{a+2}} \right\left -\left {\frac{{1 }}{a-2}} \right\left = \)

Wordt dit nul? Welke bewerking moet ik hier uitvoeren?

Opgave B

\(1 -\left {\frac{{2a }}{a-b}} \right\left + \left {\frac{{4ab }}{a^2-b^2}} \right\left = \left {\frac{{a^2-b^2 }}{a^2-b^2}} \right\left - \left {\frac{{2ba^3b }}{a^2-b^2}} + \left {\frac{{4ab }}{a^2-b^2}} \right\left \right\left =\left {\frac{{(a^2-b^2)-(2ba^3b)+(4ab) }}{a^2-b^2}} \right\left=? \)

Opgave C

Kruis links vermenigvuldigen is geen oplossing, ik weet niet hoe ik de volgende stap moet maken.

Opgave D

\(\left {\frac{{a-1 }}{a+1}} \right\left *\left {\frac{{1 }}{a^2-1}} = \left {\frac{{a-1}}{a^3-1a}} =?\)

Opgave E

\(\left {\frac{{a-1 }}{1}} \right\left *\left {\frac{{a^2-1 }}{a+1}}=\left {\frac{{a^3+1a}}{a+1}}=?\)

Alvast bedankt voor uw reacties en tijd!

[TD]

Het komt er bij A en B op neer om je rechterlid op gelijke noemer te zetten zodat je het geheel in één breuk kan brengen, vervolgens vereenvoudig je dan de teller. Om verschillende breuken op één breuk te brengen, moet je de noemers gelijk maken. Hiervoor kan je de noemers best ontbinden in factoren, dan zie je gemakkelijker wat de gemeenschappelijke noemer zal zijn.

Voor A is a²-4 = (a-2)(a+2) en de andere noemers zijn (a-2) en (a+2). Vermenigvuldig deze twee breuken dus respectievelijk in teller en noemer met (a+2) en (a-2) zodat de drie noemers allemaal (a-2)(a+2) zijn. Dan kan je alle tellers samennemen op diezelfde noemer en de teller vereenvoudigen.

Voor de andere opgaven: ontbind ook in factoren; in een product mag je in teller en noemer gemeenschappelijke factoren schrappen.

[Rov]

Ik kom helaas niet verder dan...

Opgave A

\(\left  {\frac{{1 }}{a+2}} \right\left -\left  {\frac{{1 }}{a-2}} \right\left = \)

Wordt dit nul?

Je mag nooit zeggen dat zoiets nul is als er maar een tekentje verschillend is. Als je toch twijfelt, wat iedereen wel eens doet, vul dat gewoon een willekeurig getal in.

Neem de makkelijkste a: a = 0

1/2 - 1/(-2) = 1/2 + 1/2 = 1

Of stel het hele gedoe gelijk aan 0 om het te controleren:

\(\frac{{1 }}{a+2}} = \frac{{1 }}{a-2}}\)

Moest het nog niet duidelijk zijn, spiek dan op je GRM en merk dat deze twee hyperbolen nooit snijden.

Wegens gebrek aan zin (sorry) door de vakantie heb ik de andere niet bekeken. Misschien als ik me straks eens verveel zal ik eens zien of ik je kan helpen.

[/tex]