Wortel negatief getal

[Bert]

C en ook R kun je ordenen, maar zijn niet aftelbaar

N is wel aftelbaar

Hoi Peterdevis,

kan je hier misschien wat meer uitleg bij geven?

thx

Intuitief: een verzameling is aftelbaar oneindig als je de elementen kunt nummeren. Meer formeel: een verzameling A is aftelbaar oneindig als er een bijectieve afbeelding (noem deze afbeelding f) is van deze verzameling naar de verzameling van natuurlijke getallen. De afbeelding f A->N heet bijectief als uit a<>b volgt dat f(a)<>f(b) en als f(A)=N.

Het is duidelijk dat N volgens deze definitie aftelbaar oneindig is. Dat R en C dat niet zijn is wat ingewikkelder. De verzamelingen Z en Q (en dat is op het eerste gezicht misschien verbazingwekkend) zijn weer wel aftelbaar oneindig.

Overigens denk ik niet dat dit veel met de mogelijkheid van een ordening te maken heeft, want op R kun je een hele zinvolle ordening definieren maar op C niet.

Op R kun je de ordening a<b zelfs definieren in termen van de andere operaties: we zeggen dat a<b als a-b niet te schrijven is als het kwadraat van een ander reeel getal. Het zijn dit soort verbanden met andere delen van de structuur van de reele getallen die een ordeningsrelatie zinvol maken. Als zo'n verband niet bestaat dan kun je weliswaar een ordening definieren maar je kunt er vervolgens niet veel mee doen en dat is de eigenlijke reden waarom er op de complexe getallen geen ordening wordt gedefinieerd.

[Bert]

waarom gaan ze geen nieuwe verzameling uitvinden waarin je wel kan delen door 0.

Dat hoeft niet meer want dat bestaat al in de vorm van complexe getallen met daaraan toegevoegd een symbool voor oneindig, bedacht door Riemann in de 19e eeuw.

[einstone]

Overigens denk ik niet dat dit veel met de mogelijkheid van een ordening te maken heeft, want op R kun je een hele zinvolle ordening definieren maar op C niet.

Dat dacht ik precies ook. Ik zie niet in wat aftelbaarheid met een orderelatie temaken heeft.

[Rogier]

waarom gaan ze geen nieuwe verzameling uitvinden waarin je wel kan delen door 0.

Omdat je daar niks aan hebt. Er is geen enkele zinnige uitkomst aan iets/0 te geven. Dat je niet kunt delen door 0 is geen kwestie van "jammer, vervelend dat het zo is, zou fijn zijn als het wel zou kunnen"

[peterdevis]

Ik stel voor C volgende ordening voor:

(1,1)

(1,2)

(1,3)

...

(2,1)

(2,2)

...

(3,1)

Ik hen nu wel de complexnatuurlijke getallen geordend, maar op deze manier kan je C ook ordenen.

dat deze ordening zin heeft is een andere vraag.

[AJK]

Dat hoeft niet meer want dat bestaat al in de vorm van complexe getallen met daaraan toegevoegd een symbool voor oneindig, bedacht door Riemann in de 19e eeuw.

Omdat je daar niks aan hebt. Er is geen enkele zinnige uitkomst aan iets/0 te geven. Dat je niet kunt delen door 0 is geen kwestie van "jammer, vervelend dat het zo is, zou fijn zijn als het wel zou kunnen"

Je kunt 'iets' gedeeld door 0 definiëren als 'oneindig', dit kan omdat je 'oneindig' niet als een bepaald getal kunt definiëren. (oneindig is meestal niet gelijk aan oneindig)

Hoe kom je tot die oneindig? Als je ipv 0 bijna 0 gebruikt kom je daar vanzelf. iets gedeeld door oneindig is zodoende 0, maar oneindig gedeeld door oneindig is niet definieerbaar.

[einstone]

Ik stel voor C volgende ordening voor:

(1,1)

(1,2)

(1,3)

...

(2,1)

(2,2)

...

(3,1)

Ik hen nu wel de complexnatuurlijke getallen geordend, maar op deze manier kan je C ook ordenen.

dat deze ordening zin heeft is een andere vraag.

Dus je houdt de eerste coördinaat constant en gaat dan ordenen zoals in R... Jij ordent nu maar een heel klein stukje van C, kan jij dan zeggen of (2,1) > (1,2) ? Je geeft wel een ordening, maar eentje die maar heel beperkt toepasbaar is, helemaal geen ordening voor heel C, toch?

[Bert]

Ik stel voor C volgende ordening voor:

(1,1)

(1,2)

(1,3)

...

(2,1)

(2,2)

...

(3,1)

Ik hen nu wel de complexnatuurlijke getallen geordend, maar op deze manier kan je C ook ordenen.

dat deze ordening zin heeft is een andere vraag.

Dus je houdt de eerste coördinaat constant en gaat dan ordenen zoals in R... Jij ordent nu maar een heel klein stukje van C, kan jij dan zeggen of (2,1) > (1,2) ? Je geeft wel een ordening, maar eentje die maar heel beperkt toepasbaar is, helemaal geen ordening voor heel C, toch?

Volgens mij bedoeld Peter dat een complex getal a groter is dan b als Re(a)>Re(b) of als Re(a)=Re(b) en Im(a)>Im(b).

In dat geval heb je de complexe getallen inderdaad volledig geordend. Je hebt er alleen niet veel aan.

[Bert]

Dat hoeft niet meer want dat bestaat al in de vorm van complexe getallen met daaraan toegevoegd een symbool voor oneindig, bedacht door Riemann in de 19e eeuw.

Omdat je daar niks aan hebt. Er is geen enkele zinnige uitkomst aan iets/0 te geven. Dat je niet kunt delen door 0 is geen kwestie van "jammer, vervelend dat het zo is, zou fijn zijn als het wel zou kunnen"

Je kunt 'iets' gedeeld door 0 definiëren als 'oneindig', dit kan omdat je 'oneindig' niet als een bepaald getal kunt definiëren. (oneindig is meestal niet gelijk aan oneindig)

Hoe kom je tot die oneindig? Als je ipv 0 bijna 0 gebruikt kom je daar vanzelf. iets gedeeld door oneindig is zodoende 0, maar oneindig gedeeld door oneindig is niet definieerbaar.

Zo werkt het niet. Wat Riemann deed was een symbool oneindig toevoegen aan de complexe getallen (en waarom zou dat niet mogen) en vervolgens definieren hoe dat symbool zich gedraagt bij bepaalde bewerkingen. De bewerking oneindig gedeeld door oneindig is inderdaad in het systeem van Riemann niet gedefinieerd (zoals al blijkt uit wat ik zeg maakt het systeem ook geen onderscheid tussen bijvoorbeeld "- oneindig" en "+ oneindig").

In de complexe functietheorie heeft het wel degelijk zin om met een symbool voor oneindig te werken omdat bepaalde stellingen dan een eenvoudiger formulering krijgen.

[Anonymous]

Verbetering op Willemjan 1e replay:

Wortel -49=+-i 7 (en niet enkel i7 )

[Anonymous]

Volgens mij hoort 0 helemaal niet bij N

het is natuurlijk gewoon een kwestie van definitie, maar in het algemeen hoort 0 bij N.

In N₀ zit nul niet

Sorry hoor, maar ik studeer wiskunde (op de VU) en met alle vakken die ik heb gehad is N als {1,2,3,4,....} gedefinieerd.

Ik heb slechts één boek gezien waarin N als {0,1,2,3, ....} gedefinieerd wordt en dat is Analyse voor Beginners van Van Rooij en dat boek wordt niet gebruikt op de VU

[peterdevis]

A positive integer 1, 2, 3, ... (Sloane's A000027). The set of natural numbers is denoted N. Unfortunately, 0 is sometimes also included in the list of "natural" numbers (Bourbaki 1968, Halmos 1974), and there seems to be no general agreement about whether to include it. In fact, Ribenboim (1996) states "Let P be a set of natural numbers; whenever convenient, it may be assumed that ."

uit http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html

of lees dit eens

http://nl.wikipedia.org/wiki/Natuurlijk_getal

[einstone]

gisteren heb ik nog van mijn prof hogere wiskunde aan de kuleuven gehoord dat het gewoon inderdaad een kwestie van definitie is of 0 bij N hoort of niet. in belgie zei ie, is dat meestal wel het geval, in nederland niet (tis trouwens een nederlander) ...