[Wiskunde] Enkele wiskunde vragen

[Insha]

Heyy,

Ik heb een paar wiskunde vragen ( afkomstig v/d toelatingstoets van geneeskunde in Belgie) en ik hoop dat iemand me kan helpen om de sommen op te lossen.

Beschouw een cylindrisch vat ( zonder deksel) met gegeven volume V0m^3.

Als de oppervlakte van het vat minimaal is, welk verband is er dan tussen de hoogte (in m) van het vat en de straal r (in m) van het grondvlak.

A:h= 0,75r

B:h=r

C:h=1.5r

D:h=2r

Tot nu toe heb ik:

De oppervlakte v/d vat is het omhulsel + de cirkelvormige onderkant (er is geen deksel)

Als je het omhulsel uitklapt is de opp l*b

opp v/e cirkel is Πr^2

Opp vat is (l*b)+ (Πr^2)

Ze zeggen dat het opp minimaal is.

Moet ik de afgeleide nemen van de bovenstaande formule?

En hoe breng ik de opp in verband met de hoogte h v/h vat en de straal r v/h grondvlak?

Mijn tweede vraag is :

Welke van de volgende verzamelingen bevat minstens een nulpunt v/d veeltermfunctie

f(x):= 2x^4-4x^3-13x^2-6x-24

A:{-5;-1;2;7}

B:{-4;-1.5;1;16}

C:{-7;-0.5;3;5}

D:{-3;-2.5;4;9}

Tot nu toe heb ik:

Nou, ik dacht eraan dat je een hogere graads functie kan opdelen door een nulpunt (x-r) waarbij r een nulpunt is,

maar hoe kom je precies aan r want dat is hetgeen waar je naar op zoek bent [rr]

[TD]

1) Probeer je oppervlakte te schrijven met zo weinig mogelijk variabelen. Je voert onnodig een lengte en breedte in, de lengte (of breedte, hoe je het bekijkt) komt overeen met de hoogte en de breedte is precies de omtrek van de cirkel (je "knipt" deze immers open en rolt ze uit), waarvan r al de straal was.

2) Als er een geheel nulpunt is, dan moet dit een deler zijn van de constante. Bovendien kan je 1 en -1 hier al eenvoudig uitsluiten omwille van de eenvoudige trucjes om deze te controleren. Overblijvende kandidaten: {2,3,4,6,8,12,24} en hun tegengestelden. Hiermee zijn enkel oplossing A en D nog mogelijkheden, controleer 2, -3 en 4 door invullen.

[Insha]

Hmm...das waar ja, dus als ik l en b invul heb ik dit:

Opp: h*2Πr+(Πr^2)

En dan kijk ik vervolgens naar waneer dit minimaal is, is dat dan gewoon afgeleide gelijk aan 0 stellen? Ik heb nog wel 2 variabelen :h en r

[TD]

Ik heb nog wel 2 variabelen :h en r

Maar daar ken je een verband tussen, via het vaste volume.

[Insha]

Het vaste volume is πr^2h

Opp: h*2Πr+(Πr^2)

Mischien kan ik de ene variabele omschrijven naar de ander:

Inh=Πr^2h

(1/Πr^2)=h

Opp:(1/Πr^2)*2Πr+(Πr^2)

ofzoiets [rr]

[TD]

En nu heb je de oppervlaktefunctie in één variabele (namelijk r); dus kan je afleiden, gelijkstellen aan 0 en oplossen naar r. Je kan dan de relatie met V gebruiken om te zien welke waarde van h met deze ideale waarde van r overeenstemt - als ik me niet vergis zul je zien dat ze even groot zijn, dus antwoord B.

[Insha]

Ik loop weer vast.

Als ik de formule afleidt kom ik hierop uit:

O'(x)= -2Πr*(Πr^2)^-2*2Π+2Πr=0

-2Πr*(Πr^2)^-2*2Π=-2Πr

-2Πr*(Πr^2)^-2=-2Πr/2Π

-2Πr*(Πr^2)^-2=-r

-2Πr*(1/((Πr^2)^2)=-r

-(2Πr/Π^2r^4)=-r

(2Πr/Π^2r^4)=r

Nu heb ik wel r aan een kant en dan zou ik moeten kijken hoe dit overeenkomt met h=1/(Πr^2) toch? Ik zie ff niet hoe ik dat moet doen [rr]

[Insha]

Anyone?? [rr]

[TD]

Anyone??

Ja hoor, geduld...

\(O\left( r \right) = 2\pi rh + \pi r^2 = 2\frac{V}{r} + \pi r^2 \Rightarrow O'\left( r \right) = 2\pi r - 2\frac{v}{{r^2 }}\)

Dus gelijkstellen aan 0:

\(O'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow 2\pi r - 2\frac{V}{{r^2 }} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi r^3 - V}}{{r^2 }} = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{\pi }}}\)

En vermits:

\(V = \pi r^2 h \Leftrightarrow h = \frac{V}{{\pi r^2 }} = \frac{V}{\pi }\left( {\frac{\pi }{V}} \right)^{\frac{2}{3}} = \left( {\frac{V}{\pi }} \right)^{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{{\frac{V}{\pi }}} = r\)

Zijn ze dus optimaal wanneer ze gelijk zijn: h = r.

[Insha]

Dus gelijkstellen aan 0:



Ik begrijp deze stap niet helemaal. Hoe onstaat er Πr^3 kwadraat? En valt r^2 helemaal rechts weg door de wortel?





Zou je mischien de stap (V/pi)*(pi/V)= (V/pi)^1-(2/3) kunnen uitleggen. Dat heb ik ik nog nooit gedaan

Pff..wat een som

[TD]

Iets meer stapjes:

\(2\pi r - 2\frac{V}{{r^2 }} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2\pi r^3 }}{{r^2 }} - \frac{{2V}}{{r^2 }} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2\pi r^3 - 2V}}{{r^2 }} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi r^3 - V}}{{r^2 }} = 0\)

Nu is een breuk gelijk aan 0, als teller 0 is en noemer niet (dus r niet 0 hier):

\(\pi r^3 - V = 0 \Leftrightarrow \pi r^3 = V \Leftrightarrow r^3 = \frac{V}{\pi } \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{\pi }}}\)

Dan die andere stap, is rekenen met machten:

\(\frac{V}{\pi }\left( {\frac{\pi }{V}} \right)^{\frac{2}{3}} = \left( {\frac{V}{\pi }} \right)^1 \left( {\frac{\pi }{V}} \right)^{\frac{2}{3}} = \left( {\frac{V}{\pi }} \right)^1 \left( {\frac{V}{\pi }} \right)^{ - \frac{2}{3}} = \left( {\frac{V}{\pi }} \right)^{1 - \frac{2}{3}} = \left( {\frac{V}{\pi }} \right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{{\frac{V}{\pi }}}\)

[Insha]

Ok, ik geloof dat ik het helemaal begrijp nu, behalve mischien de stap

(V/pi)*(pi/V)^2/3.

Waarom is de macht 2/3 en niet bv een ander getal? Komt het doordat die r^2

(bij h= V/pi*r^2) gesubstitueerd moet worden?

[TD]

Omdat r al een derdemachtswortel was (dat is macht 1/3), en deze werd in het kwadraat genomen.

[Insha]

Aha, ik vat em

[TD]

Gewoon eigenschappen van machten dus:

\(\left( {x^a } \right)^b = x^{ab} \to \left( {\sqrt[3]{x}} \right)^2 = \left( {x^{\frac{1}{3}} } \right)^2 = x^{\frac{1}{3} \cdot 2} = x^{\frac{2}{3}} \)