Snel vraagje over vectoren

[Pollop XXIII]

Hallo,

het is welbekend dat, in een driehoek

\(ABC\)

, we ongeacht de oorsprong steeds hebben dat

\( \vec{H} = \frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})\)

Weet iemand een dergelijke uitdrukking voor de vector

\(\vec{O}\)

in functie van de hoekpunten van de driehoek ?

(

\(H\)

is het hoogtepunt en

\(O\)

is het middelpunt van de omgeschreven cirkel)

[Safe]

Hallo,

het is welbekend dat, in een driehoek

\(ABC\)

, we ongeacht de oorsprong steeds hebben dat  

\( \vec{H} = \frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})\)

Weet iemand een dergelijke uitdrukking voor de vector

\(\vec{O}\)

in functie van de hoekpunten van de driehoek ?  

(

\(H\)

is het hoogtepunt en

\(O\)

is het middelpunt van de omgeschreven cirkel)

H is niet het hoogtepunt maar het zwaartepunt.

Je tweede vraag moet ik ontkennend beantwoorden.

[Pollop XXIII]

Sorry ja, das uiteraard een typfout.

Voor

\(\vec{OH}\)

vond ik het volgende:

\(\vec{OH} = \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\)

Nu kunnen we misschien iets bereiken met de Euler-lijn, want $3 OZ = OH$, maar ik blijf vastzitten.

(Blijkbaar kan ik mijn vorige bericht niet editen, H moet uiteraard veranderd worden in Z)

[evilbu]

Het spijt me, maar ik denk dat je enkel zo een mooie barycentrische combinatie van de hoekpunten zal vinden voor het zwaartepunt.

Voorlopig enkel maar intuïtief maar, je hebt geen afstand nodig om het zwaartepunt te definiëren, je hebt dat wel nodig voor omgeschreven cirkel en hoogtelijnen en dergelijke.

Dus ik zou niet zoeken (altijd een aantrekkelijk aanbod natuurlijk in de wiskunde...)

[aadkr]

De 3 middelloodlijnen van de zijden van een driehoek in R2 gaan door 1 punt M..

Stel: Hoekpunten zijn A B C De plaatsvectoren zijn a b c

De vergelijkingen van de 3 lijnen zijn

m©: x . (b-a)=1/2 (b.b - a.a)

m(a): x.(c-b) =1/2 (c.c- b.b)

m(b): x. (a-c) = 1/2 (a.a - c.c )

Als je de tweede en derde vergelijking optelt, dan krijg je de eerste.

De 3 lijnen hebben dus een gemeenschappelijk punt.

Dit punt is het middelpunt van de omschreven circel van de driehoek ABC.

[-=zweistein=-]

Een driehoek met hoekpunten A, B en C en zijn omgeschreven cirkel met middelpunt M.

P is het middelpunt van zijde BC en N is het middelpunt van zijde AB.

Het snijpunt van de middelloodlijnen is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.

er geldt:

\(\overline{AB}.\overline{NM} = \overline{0}\overline{BC}.\overline{PM} = \overline{0} \)

(eigenschap van scalair product)

[-=zweistein=-]

Een driehoek met hoekpunten A, B en C en zijn omgeschreven cirkel met middelpunt M.

P is het middelpunt van zijde BC en N is het middelpunt van zijde AB.

Het snijpunt van de middelloodlijnen is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.

er geldt:

\(\overline{AB}.\overline{NM} =\overline{BC}.\overline{PM} = \overline{0} \)

(eigenschap van scalair product)

uitwerken geeft:

\(\overline{M} - \overline{N} = \overline{0} \)

\( \overline{M} - \overline{P} = \overline{0}\)

=>

\(2\overline{M} = \overline{P} + \overline{N} \)

(*)

P en N in functie van A, B en C schrijven:

\(\overline{P} = \frac{\overline{B} + \overline{C}}{2} \)

\(\overline{N} = \frac{\overline{A} + \overline{B}}{2}\)

instoppen in (*) geeft:

\(\overline{M} = \frac{\overline{A} + 2\overline{B} + \overline{C}}{2} = \frac{\overline{A} + \overline{B} + 2\overline{C}}{2} = \frac{2\overline{A} + \overline{B} + \overline{C}}{2} \)

Sorry voor mijn dubbele post

[evilbu]

Kan je es uitleggen wat je doet in die stap "uitwerken geeft:"

Ik moet zeggen dat ik er geen goed oog op heb. Ten eerste is jouw formule geen barycentrische combinatie (som der coefficiënten is 1) van de hoekpunten en dus in principe niet zinvol (de oorsprong hoort niet relevant te zijn). Ten tweede kan een barycentrische combinatie volgens mij niet, want middelpunt omgeschreven cirkel is geen affien begrip...

[Safe]

Een driehoek met hoekpunten A, B en C en zijn omgeschreven cirkel met middelpunt M.

P is het middelpunt van zijde BC en N is het middelpunt van zijde AB.

Het snijpunt van de middelloodlijnen is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.

er geldt:

\(\overline{AB}.\overline{NM} =\overline{BC}.\overline{PM} = \overline{0}   \)

(eigenschap van scalair product)

uitwerken geeft:  

\(\overline{M} - \overline{N} = \overline{0} \)

\( \overline{M} - \overline{P} = \overline{0}\)

=>

\(2\overline{M} = \overline{P} + \overline{N} \)

(*)

P en N in functie van A, B en C schrijven:

\(\overline{P} = \frac{\overline{B} + \overline{C}}{2} \)

\(\overline{N} = \frac{\overline{A} + \overline{B}}{2}\)

instoppen in (*) geeft:

\(\overline{M} = \frac{\overline{A} + 2\overline{B} + \overline{C}}{2} = \frac{\overline{A} + \overline{B} + 2\overline{C}}{2} =  \frac{2\overline{A} + \overline{B} + \overline{C}}{2} \)

Sorry voor mijn dubbele post

Ik ben bang dat dit niet goed is!

Bv:

Uit:

\(\overline{M} - \overline{N} = \overline{0} \)

volgt:

\(\overline{M} = \overline{N} \)

en dit zal (in 't algemeen) niet goed zijn!

Opm:

\(\overline{AB}.\overline{NM} =\overline{BC}.\overline{PM} = 0 \)

[-=zweistein=-]

\(\overline{AB}.\overline{NM} = \overline{0}\)

\(\overline{BC}.\overline{PM} = \overline{0}\)

=>

\((\overline{B} - \overline{A})(\overline{M} - \overline{N}) = \overline{0}\)

\((\overline{C} - \overline{B})(\overline{M} - \overline{P}) = \overline{0}\)

=>

\(\overline{B} - \overline{A} = 0 of \overline{M} - \overline{N} = 0\)

\(\overline{C} - \overline{B} = 0 of \overline{M} - \overline{P} = 0\)

we weten dat

\( \overline{B} en \overline{A} \)

niet gelijk zijn en

\( \overline{C} - \overline {B} \)

ook niet daarom dus:

\(\overline{M} - \overline{N} = \overline{0} \)

\(\overline{M} - \overline{N} = \overline{0} \)

een foutje ontdekt:

overline{M} = frac{overline{A} + 2overline{B} + overline{C}}{4} = frac{overline{A} + overline{B} + 2overline{C}}{4} = frac{2overline{A} + overline{B} + overline{C}}{4}

[evilbu]

En dat is precies de reden waarom ik om zijn uitwerking vroeg hierboven...

[-=zweistein=-]

wat doe ik dan fout?

[evilbu]

Jij gaat ervan uit dat als twee vectoren een scalair product hebben dat nul is, dat een van beide nul is. Dat is verrevan correct : een scalair product dat nul is, wil zeggen dat ze loodrecht op mekaar staan.

[-=zweistein=-]

Daarom dus