integreren

[iris]

In een opdracht stond hetvolgende:

Gebruik breuksplitsing om de volgende integralen uit te rekenen:

de integraal van 5 tot 10 van: (x²+3x+2)^-1 dx. (sorry dat ik het niet in wiskundige tekens heb gezet)

Zonder breuksplitsing leverd dit een primitieve op van: (2x+3)^-1*ln(x²+3x+2) en dus is de integraals gelijk aan: 1/23*ln(132)-1/13*ln(42)

Met breuksplitsing (zoals ik het splits, misschien is dat de fout wel die ik maak..) leverd me dit hetvolgende op:

(x²+3x+2)^-1=((x+1)(x+2))^-1 dus de integraals is gelijk aan de integraal van:

(x+1)^-1 vermenigvuldigd met de integraal van (x+2)^-1, dit is:

[ln(11)-ln(6)]*[ln(12)-ln(7)]=ln(11/6)*ln(12/7).

Dit zijn dus twee verschillende antwoorden, ziet iemand hier mijn fout??

[EvilBro]

Met breuksplitsing (zoals ik het splits, misschien is dat de fout wel die ik maak..) leverd me dit hetvolgende op:

(x²+3x+2)^-1=((x+1)(x+2))^-1 dus de integraals is gelijk aan de integraal van:

(x+1)^-1 vermenigvuldigd met de integraal van (x+2)^-1,

Hell no... dit zou immers ook betekenen dat de integraal van 1 gelijk is aan de integraal van x maal de integraal van (1/x) (en ik hoop dat we het erover eens zijn dat dat niet zo is).

De splitsing was nog niet klaar:

\(\int \frac{1}{x^2 + 3 x + 2} dx = \int \frac{1}{(x + 2)(x + 1)} dx= \int \frac{(x+2)-(x+1)}{(x + 2)(x + 1)}} dx = \int \frac{(x+2)}{(x+2)(x+1)} dx - \int \frac{(x+1)}{(x + 2)(x + 1)}} dx\)

\(= \int \frac{1}{x+1} dx - \int \frac{1}{x + 2} dx\)

Vanaf hier moet het wel lukken. Succes.

[Safe]

In een opdracht stond hetvolgende:

Gebruik breuksplitsing om de volgende integralen uit te rekenen:

de integraal van 5 tot 10 van: (x²+3x+2)^-1 dx. (sorry dat ik het niet in wiskundige tekens heb gezet)

Zonder breuksplitsing leverd dit een primitieve op van: (2x+3)^-1*ln(x²+3x+2) en dus is de integraals gelijk aan: 1/23*ln(132)-1/13*ln(42)

Met breuksplitsing (zoals ik het splits, misschien is dat de fout wel die ik maak..) leverd me dit hetvolgende op:

(x²+3x+2)^-1=((x+1)(x+2))^-1 dus de integraals is gelijk aan de integraal van:

(x+1)^-1 vermenigvuldigd met de integraal van (x+2)^-1, dit is:

[ln(11)-ln(6)]*[ln(12)-ln(7)]=ln(11/6)*ln(12/7).

Dit zijn dus twee verschillende antwoorden, ziet iemand hier mijn fout??

Hoe kom je aan je eerste primitieve?

[iris]

het afleiden van ln(x²+3x+2) leverd op: (2x+3)*(x²+3x+2)^-1. (toch?)

Dit was de functie die ik wilde primitiveren echter er staat nog een voorterm bij: 2x+3. Om die weg te werken vermenigvuldig je ln(x²+3x+2) nog met (2x+3)^-1 en nu levert het differentieren van deze functie dus de goede functie op.

[EvilBro]

Om die weg te werken vermenigvuldig je ln(x²+3x+2) nog met (2x+3)^-1 en nu levert het differentieren van deze functie dus de goede functie op.

De functie die je wilt differentiëren:

\(F(x) = \ln(x^2 + 3 x + 2) \cdot (2 x + 3)^{-1}\)

De afgeleide van deze functie (met behulp van de productregel):

\(f(x) = \ln(x^2 + 3 x + 2) \cdot \left(- 1 \cdot (2 x + 3)^{-2} \cdot 2 \right) + \left(\frac{1}{x^2 + 3 x + 2} \cdot (2 x + 3) \right) \cdot (2 x + 3)^{-1} = \frac{1}{x^2 + 3 x + 2} - \frac{2 \ln(x^2 + 3 x + 2)}{(2 x + 3)^2} \)

Dit is dus niet de functie die je voor ogen had.

[iris]

ok, maar is het tweede dan wel goed?

[EvilBro]

ok, maar is het tweede dan wel goed?

Nee, die is ook niet goed. Dit komt omdat:

\(\int \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx \neq \int \frac{1}{x+1} dx \cdot \int \frac{1}{x+2} dx\)

[iris]

hoe moet het dan wel

[EvilBro]

hoe moet het dan wel

Zie mijn eerste reply op je vraag (de tweede reply in dit topic).

[iris]

oh sorry helemaal gemist, excuus! [rr]

[Phys]

het afleiden van ln(x²+3x+2) leverd op: (2x+3)*(x²+3x+2)^-1. (toch?)

Dit was de functie die ik wilde primitiveren echter er staat nog een voorterm bij: 2x+3. Om die weg te werken vermenigvuldig je ln(x²+3x+2) nog met (2x+3)^-1 en nu levert het differentieren van deze functie dus de goede functie op.

Je kunt alleen corrigeren voor constantes, niet voor variabelen!!! Daar gaat het mis, dat moet je goed onthouden. Je werkt hier een voorterm weg, maar die bevat variabelen dus dat mag niet zomaar.

Als dat wel mocht, zou primitiveren een stuk simpeler zijn (even simpel als differentieren).

[Safe]

het afleiden van ln(x²+3x+2) leverd op: (2x+3)*(x²+3x+2)^-1. (toch?)

Dit was de functie die ik wilde primitiveren echter er staat nog een voorterm bij: 2x+3. Om die weg te werken vermenigvuldig je ln(x²+3x+2) nog met (2x+3)^-1 en nu levert het differentieren van deze functie dus de goede functie op.

Ja, zo'n bewering is prima maar moet je wel controleren! En dat is eenvoudig want je kan je gevonden primitieve weer differentiëren, zoals je inmiddels gezien hebt.

[TD]

Iris, algemeen: de integraal van een product is niet gelijk aan het product van de integralen.

Voor producten van functie is er eventueel wel partiële integratie als mogelijke techniek en zie ook breuksplitsen.

PS: het is levert en niet leverd, dit laatste kan nooit :s !