Reeksen : som van een quotient

[tuur.benoit]

Hoe kan je de reeks

\((\sum_{i}^n \frac{a_{i}}{b_{i}})\)

anders noteren?

Is het mogelijk om een quotient van 2 reeksen te verkrijgen?

Welke andere beweringen zijn met andere woorden equivalent aan deze?

[TD]

Ik begrijp niet goed waar je naar toe wil, maar let op dat:

\(\frac{{a_1 }}{{b_1 }} + \frac{{a_2 }}{{b_2 }} + \cdots ne \frac{{a_1 + a_2 + \cdots }}{{b_1 + b_2 + \cdots }}\)

[tuur.benoit]

Ik begrijp niet goed waar je naar toe wil, maar ik hoop niet dat je denkt aan:

\(\frac{{a_1 }}{{b_1 }} + \frac{{a_2 }}{{b_2 }} +  \cdots  ne \frac{{a_1  + a_2  +  \cdots }}{{b_1  + b_2  +  \cdots }}\)

Nee, dat zou te mooi om waar te zijn.

Ik zoek andere notaties voor die reeks, maar dus uiteraard correcte dingen. Ik heb eigenlijk geen idee of er andere uitdrukkingen zijn voor die reeks. Het is in een poging om een formule te vereenvoudigen.

[TD]

Ik betwijfel of je dit nog "eenvoudiger" gaat kunnen schrijven, maar misschien kunnen we beter helpen als je het geheel geeft.

[tuur.benoit]

En is het mogelijk om de breuken op gelijke noemer te zetten en daarvoor een reeks te beschrijven?

Of iets helemaal anders: het quotient beschouwen als een product?

[tuur.benoit]

ik zal mijn vraag anders formuleren:

zijn er rekenregels voor reeksen?

[PeterPan]

ik zal mijn vraag anders formuleren:

zijn er rekenregels voor reeksen?

Ja, bijvoorbeeld:

Als

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =a \mbox{ dan } \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n] a_n = a\)

als {a_n} een rij van positieve getallen is.

Een interessant probleempje ter oplossing:

\(\mbox{Bereken }\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)

[tuur.benoit]

Wat verkrijg je als je het volgende op gelijke noemer plaatst?

\((\sum_{i}^n \frac{q_{i=1}}{(x - x_{i})^2} = \frac{q_{1}}{(x - x_{1})^2} + \frac{q_{2}}{(x - x_{2})^2} + \frac{q_{3}}{(x - x_{3})^2} + \ldots + \frac{q_{n}}{(x - x_{n})^2} )\)

(Eindig aantal breuken)

[trudo]

ik denk dat het iets is als volgt:

\((\sum_{i = 1}^n \frac{a_{i}}{b_{i}})\)

=

\(( \frac {1}{ b_{1 ->n}} \cdot \sum_{i = 1}^n a_{i} \cdot b_{ ( 1 -> n ) / i } \)

dus de som van alle tellers maal alle noemers behalve zijn eigen noemer , en dat alles delen door het product van alle noemers

[kotje]

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)

Voor grote n

n!=

\(\sqrt{2\pi n} n^n e^{-n}\)

Na wat rekenen en limiet natuurlijke logaritme vind ik

\(\frac{1}{2e}\)

[Mattia]

ik zal mijn vraag anders formuleren:

zijn er rekenregels voor reeksen?

Ja, bijvoorbeeld:

Als

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =a \mbox{ dan } \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n] a_n = a\)

als {a_n} een rij van positieve getallen is.

Een interessant probleempje ter oplossing:

\(\mbox{Bereken }\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)

Moet het bij cauchy normaal geen limsup zijn voor de volledigheid?

[TD]

Formeel wel, maar vele analyse/calculus teksten zien niet eens limsup en liminf, daar wordt het dan met de gewone limiet gedaan.

[PeterPan]

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)

Voor grote n

n!=

\(\sqrt{2\pi n} n^n e^{-n}\)

Na wat rekenen en limiet natuurlijke logaritme vind ik

\(\frac{1}{2e}\)

Nee joh,

het is uiteraard de bedoeling gebruik te maken van de stelling:

\(\mbox{Als }\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =a \mbox{ dan } \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n] a_n = a\)

als {a_n} een rij van positieve getallen is.

[kotje]

Bedoelt ge dat ik de gemaakte substitutie niet mag doen! De uitdrukkingen gaan toch naar elkaar als n naar oneindig gaat.

[PeterPan]

Bedoelt ge dat ik de gemaakte substitutie niet mag doen! De uitdrukkingen gaan toch naar elkaar als n naar oneindig gaat.

Als je de uitdrukking n!=

\(\sqrt{2\pi n} n^n e^{-n}\)

per sé wilt gebruiken, dan moet je hem eerst maar bewijzen.

Ik kan ook zo redeneren. Die limiet staat bij mij in het boek en volgens het boek komt er ... uit. Einde bewijs.

De bedoeling is dus niet van boekenkennis uit te gaan maar om de limiet vanuit eigen kracht te bewijzen.