[Wiskunde]Lineaire deelruimten in vectorruimte

[Kimbo Kastekniv]

Mij lukt de volgende opgave niet:

Gegeven is een vectorruimte V en lineaire deelruimten U en W van V. Stel dat (u1,...,Um) een onafhankelijk stelsel in U is en (w1,...,wn) een onafhankelijk stelsel in W. Stel verder dat

\(U\cap W= \left{ \begin{array}{c}0\end{array} \right}\)

. Bewijs dat het stelsel (u1,...,um,w1,...,wn) onafhankelijk is. Met

\(U\cap W= \left{ \begin{array}{c}0\end{array} \right}\)

wordt bedoeld dat lineaire deelruimte U en W elkaar niet overlappen.

Alvast bedankt voor jullie hulp!!!

[Mattia]

Weet je de dimensies van U, W en V?

[Rov]

Waarschijnlijk niet, anders kon je de dimensiestelling gebruiken.

[Mattia]

Hmm, het gaat ook zonder.

Je moet bewijzen dat

a1*u1+....+am*um+b1*w1+.....bn*wn=0

Heel met de u's is lin onafh. in U en het deel met de w's is lin onafh. in W, aangezien W en U buiten de nulvector geen gezamelijke elementen hebben kan je een element in U niet schrijven als lin comb. van vectoren uit W en omgekeerd. Dit betekent dus dat a1=a2=...=am=b1=...=bn.

Mijn excuses voor de onduidelijke formulering van mijn formules, maar ik ben nog niet ingeweid in de edele taal va het LaTeX...

Hopelijk heb ik niks over het hoofd gezien, op een analysedag schud ik normaal niet snel lineaire algebrabewijsjes uit mijn mouw ^^.

[Rov]

Om wat met LaTeX te leren werken, klik rechtsboven op FAQ Formules.

Volgens mij is het de bedoeling dat je bewijst dat

\((u_1,u_2,...,u_m,w_1,w_2,...,w_n)\)

onafhankelijk is, en dat geldt alleen als

\(\sum_{i=1}^m \lambda_i u_i + \sum_{i=1}^n \mu_iw_i = 0\)

en dat geldt slechts als alle \(\lambda\)'s en \(\mu\)'s 0 zijn, mits de twee stelsels lineair onafhankelijk zijn.

[Mattia]

Om wat met LaTeX te leren werken, klik rechtsboven op FAQ Formules.

Volgens mij is het de bedoeling dat je bewijst dat

\((u_1,u_2,...,u_m,w_1,w_2,...,w_n)\)

 

onafhankelijk is, en dat geldt alleen als

\(\sum_{i=1}^m \lambda_i u_i + \sum_{i=1}^n \mu_iw_i = 0\)

en dat geldt slechts als alle \(\lambda\)'s en \(\mu\)'s 0 zijn, mits de twee stelsels lineair onafhankelijk zijn.

Voor het vervolg verwijs ik naar mijn bewijsje boven.

Je kan een vector in U niet schrijven als combinatie van de lin onafh. vectoren in W en omgekeerd, dus moeten zijn zowel de \(\lambda\)'s en \(\mu\)'s 0