PuzzelsEen korte samenvatting voor wie het interesseerd, kan ik voor mezelf de boel ook ff op een rijtje zetten.aaargh schreef:En de zwakke kernkracht heeft al helemaal niet zo'n formules want die werkt weer helemaal anders.
Als het je interesseert, dit is de lagrangiaan die de sterke kernkracht beschrijft.
\(\mathcal{L} = \bar{q}\left(i \gamma^\mu \partial_\mu - m \right) q - g \left(\bar{q} \gamma^\mu T_a q \right) G^a_\mu - \frac{1}{4}G^a_{\mu \nu} G^{\mu \nu}_a ,\)Veel succes want dit gaat ver boven mijn petje.
Je kunt een Lagrangiaan opstellen voor interacties tussen fermionen en een elektromagnetisch veld; dit noemt men QED ( quantum electro dynamica ). Je breidt je Lagrangiaan uit met een minimale substitutie van je vectorveld. Dit basseer je op klassieke argumenten zover ik weet ( op de manier waarop je je impuls verandert in de aanwezigheid van een elektromagnetisch veld ).
Nou blijkt dat die Lagrangiaan invariant is onder bepaalde symmetrieen. Namelijk, je spinoren mogen een fasefactor veranderen, en je hebt je ijkinvariantie van je vectorpotentiaal. Je kunt dus je vectorpotentiaal en je spinoren met een zelfde scalaire functie veranderen, zonder dat je bewegingsvergelijkingen veranderen. Is dat toeval?
Yang en Mills vonden van niet. Zij postuleerden, dat een theorie die deeltjesinteracties beschrijft, invariant moet blijven onder een locale transformatie. Dat wil zeggen, dat die scalaire functie in die transformaties op elk ruimte-tijd punt anders mag zijn. Nou kun je die spinoren dus makkelijk transformeren, maar de afgeleides niet; daarvoor trek je immers 2 dingen van elkaar af die niet op hetzelfde ruimte-tijd punt liggen, en dus zullen die 2 dingen ook anders transformeren.
Dus poneerden ze een transformatieregel voor die afgeleides. Ze zeiden: laten we es een vectorveld introduceren, dat ervoor zorgt dat de afgeleides net zo transformeren als de velden zelf. Die vectorvelden zijn dan het gevolg van die locale symmetrie. Dat werd uitgewerkt, en wonder o wonder: je kon er exact dezelfde Lagrangiaan van QED mee afleiden. Echter, dit zijn vrij simpele afleidingen, omdat de transformaties elementen zijn uit U(1); het zijn fasetransformaties.
Echter, dit idee kun je ook uitbreiden voor complexere transformaties. Hierdoor worden de uitdrukkingen wat lastiger, maar als je dezelfde principes doorvoert als dat je bij QED deed, dan kom je uiteindelijk op een Yang Mills theorie uit: de vectorvelden die interacties beschrijven zijn het gevolg van het invariant zijn van je uitdrukkingen onder locale transformaties.
