[Mechanica] beweging over kegel

[einstone]

Stel dat je weet dat een deeltje beweegt over het oppervlak van een kegel (het deeltje voert een soort spiraalbeweging uit), hoe kan je dan aantonen dat als je de kegel "ontrolt" tot een vlak in 2D je een rechte bekomt?

Ik dacht er aan een soort coördinatenstelsel te maken voor een kegel, en dan via een transformatie naar een cartesiaans assenstelsel aan te tonen dat je een rechte bekomt voor dat soort beweging.

[oktagon]

Probeer het eens via een uitslag van een kegelmantel,zie het schema dat ik eerder produceerde op dit forum;teken enkele punten van de verplaatsing van dat deeltje en projecteer die op de uitslag (zelf welk fabriceren!).



Als ik die afdaling globaal bekijk,kan dat m.i.nooit een rechte lijn worden maar wel iets elliptisch;zie maar als je het deeltje een horizontale wandeling laat maken over de mantel;dat geeft een cirkelbeweging,dus maak je daar een spiraal van dan moet dat resulteren in hetgeen ik veronderstel.

Alleen een afdaling van de top van de kegel naar dan de kortste afstand van de onderzijde van de kegel geeft een rechte lijn.

Nb.De toppen van de kegels zijn in de uitslagen de middelpunten van de cirkel,dus een punt gemeten van uit de top moet je in de uitslag meten vanuit het middelpunt van de cirkel!

Ik ben geinteresseerd in het bewijs van de stelling van de topicstarter!

[oktagon]

Met veel nadenken een uitslag gemaakt van een kegelmantel van een kegel met een basishoek van 60 graden,hetgeen een uitslag van 180 graden oplevert met als straal de schuine kegelzijde.

Hierop aangegeven de afdaling van een deeltje in spiraalvormige beweging hetgeen m.i.dus geen rechte lijn weergeeft in de uitslag zoals de topicstarter stelt (tenzij ik tekenfouten maakte).

[oktagon]

Een uitgebreidere versie van het afdalende deeltje;nu getekend via sectorenverdeling van de kegel en de uitslag:



Het wordt een wervelspiraal als bij een spiraalnevel in de astronomie;slakkenhuis wordt dit soort krommes ook wel genoemd!

Kan ook hier geen rechte lijn in dit uitslag in 2D-vlak herkennen!

[oktagon]

Als volgend voorbeeld uitgegaan van een rechte lijn in de 2D-uitslag en teruggewerkt naar een kromme langs de kegelwand:

[einstone]

hey oktagon, bedankt voor je antwoorden.

we moesten op school een project maken over "magnetische monopolen". een theoretisch project dus. in dit werk moesten we de beweging beschrijven van een elektrisch geladen deeltje in het (magnetisch) veld van een magnetische monopool die stilstaat in de oorsprong. we kwamen uit dat de beweging van het elekrtisch geladen deeltje in dat veld een beweging is over het oppervlak van een kegel met zijn top in de monopool. het deeltje spiraleert naar de monopool toe, cirkelt eigenlijk rond de veldlijnen en verwijdert zich dan weer (zonder de monopool te raken). blijkbaar moet je kunnen aantonen dat als je die beweging over de kegel uitrolt naar een 2D-vlak, je een rechte lijn krijgt. nu is het project afgelopen, en we hebben dat niet meer uitgewerkt (was ook niet het hoofddoel), maar het zou via zulk een coördinatentransformaties moeten lukken.

de bewegingsvergelijkingen hadden de vorm

\(r(t) = \sqrt{a + bt + c t^2}\)

\(\varphi(t) = a\tan(d t + e) + f\)

waarbij a,b,c,d,e en f constanten zijn.

[oktagon]

Vertel me even wat voorstelt: r :(basis straal kegel)?

phi : (basishoek kegel)?

Is t een term voor de afdalingstijd langs de kegelmantel?

De term ATAN kan ik niet thuisbrengen ;iets te maken met tg of cotg?

[DePurpereWolf]

atan is arctan is tan^-1 is de inverse van tan

[oktagon]

Bedankt PEWE!

[oktagon]

En nog even voor de topicstarter:Waar staan die constanten voor?

[einstone]

r, (theta) en phi zijn bolcoordinaten. theta tussen haakjes omdat die constant is in de tijd omdat het deeltje over het kegeloppervlak beweegt, deze gaat ons dus verder niets meer bijleren over de beweging, r en phi wel. r is de afstand tot de oorsprong, phi de hoek die de projectie van het punt op het xy-vlak maakt ten opzichte van de x-as, en theta de hoek ten opzichte van de z-as. een tekeningetje zou dit beter kunnen verduidelijken, zie bv hier: http://richter.uprm.edu/~jclinton/Lectures...es/image136.jpg

de constanten zijn niet echt belangrijk (zij veranderen de beweging niet fundamenteel), hierin zit de magnetische lading q_m, de elektrische lading q_e, de massa van het geladen deeltje etc vervat.

[oktagon]

Je praat ineens over bolcoordinaten en laat een afbeelding van een bol (1/8 ste deel) zien.Je startte de topic met een kegelmantelverhaal!

Is dat een regiefout of is er wel een verband tussen de twee vormen?

[oktagon]

atan is arctan is tan^-1 is de inverse van tan

Als ik me niet vergis is de cotg ook de inverse van de tan,of ben ik mis?

[einstone]

Je praat ineens over bolcoordinaten en laat een afbeelding van een bol (1/8 ste deel)  zien.Je startte de topic met een kegelmantelverhaal!

Is dat een regiefout of is er wel een verband tussen de twee vormen?

we moesten de bewegingsvergelijkingen opstellen en werkten daarbij in bolcoordinaten. daarbij zijn we uitgekomen dat de hoek theta een constante moet zijn voor de beweging. als theta altijd constant is, moet het deeltje wel over een kegel bewegen. de positie van een deeltje op een kegel (met vaste hoek theta) kan je perfect beschrijven met r en phi.

en ctg is idd de inverse van tan

[oktagon]

Waarom is dan het begrip arctan en atan ingevoerd naast het begrip cotg,of houdt dat verband met boogberekeningen van een cirkel?