priemtweelingen

[Anonymous]

Dit lees ik op wikipedia:

Priemtweelingen zijn priemgetallen die voorkomen in de vorm p en p+2. Voorbeelden hiervan zijn bijvoorbeeld 5 en 7, en 17 en 19. Men vermoedt dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Hier is echter (nog) geen bewijs voor.

Maar dat bewijs is toch heel simpel...

Stel dat p1, p2, p3, pn de enige priemgetalen zijn.

Volgens Euclides zijn er oneindig veel priemgetallen omdat p1*p2*p3*...pn +1 ook een priemgetal is.

Maar p1*p2*p3*...pn -1 is toch ook een priemgetal?

Het verschil tussen p1*p2*p3*...pn +1 en p1*p2*p3*...pn -1 is 2, en dus bestaan er ook oneindig veel priemtweelingen.

Voorbeeld:

2*3*5*7-1 = 209 en 2*3*5*7+1 = 211

209 en 211 zijn priemtweeling.

Enz. met telkens 1 priemgetal extra...

2*3*5*7*11-1 = 2309 en 2*3*5*7*11+1 = 2311

2309 en 2311 zijn priemtweeling.

[Mafkees]

Maar p1*p2*p3*...pn -1 is toch ook een priemgetal?

Dat is dus maar de vraag of dat altijd geldig is.

[Anonymous]

Volgens Euclides zijn er oneindig veel priemgetallen omdat p1*p2*p3*...pn +1 ook een priemgetal is.

En hoe bewijs je dit dan?

p1*p2*p3*... = q

Deelbaar zijn:

q

q+n*p1

q+n*p2

q+n*p3

enz.

Maar ook:

q-n*p1

q-n*p2

q-n*p3

enz.

Omdat p1 = 2 (het kleinste priemgetal)...

q-p1 = q-2 en q+p1 = q+2 <-- deelbaar.

Alle andere... p2, p3, p4... zijn groter dan p1.

q-1 en q+1 vallen dus buiten de boot en zijn priem, en natuurlijk tweeling.

[Quazar]

Volgens mij heb je gelijk.

Omdat er oneindig veel priemgetallen zijn kan je oneindig veel rijen maken van (p1*p2*p3*......*pn)-1 en (p1*p2*p3.....*pn) +1. Dus zijn er oneindig veel tweelingen.

Dat die twee rijen beide een priemgetal opleveren:

De tweede rij is bewezen door euclides om aan te tonen dat er oneindig veel priemgetallen zijn.

De eerste rij is eenvoudig op dezelfde manier aan te tonen.

Als dit nog nooit eerder bedacht is, is het een geniaal idee

[Bert]

Volgens Euclides zijn er oneindig veel priemgetallen omdat p1*p2*p3*...pn +1 ook een priemgetal is.

Je moet Euclides wel goed citeren. Hij zegt niet dat x=p1*p2*p3*...pn +1 een priemgetal is maar dat dit getal niet deelbaar is door een van de bekende priemgetallen p1, p2,..pn. Dat betekent dat er een priemgetal moet zijn dat niet bij de oorspronkelijke serie zat (maar dat is niet noodzakelijkerwijs het getal x zelf).

[Bert]

En om gelijk een voorbeeld te geven: 2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509.