[Wiskunde] Limiet

[Phys]

Ik heb er nog een paar

Eentje waar ik vermoed dat ik een kleine fout heb gemaakt:

\(\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{1}{\lnx}-\frac{x}{x-1})=\frac{(x-1)-x\lnx}{\lnx(x-1)}\)

Dan met hopital:

\(\frac{1-\lnx+\frac{x}{x}}{\frac{(x-1)}{x}+\lnx}\)

Als ik dan 1 invul krijg ik 1/0 = \(\infty\) en het antwoord in het boek is 1/2?

Je past l'Hopital niet goed toe. Oftewel, je maakt een fout bij het differentieren van de teller.

\(\frac{(x-1)-x\ln{x}}{\ln{x}(x-1)}\rightarrow \frac{-\ln{x}}{\frac{(x-1)}{x}+\lnx}\)

(nu invullen levert opnieuw 0/0 dus nog een keer l'hopital)

[Cycloon]

Ja correct, ik ben daar haakjes vergeten precies:

\(\frac{1-(\lnx+\frac{x}{x})}{\frac{(x-1)}{x}+\lnx}\)

Dan klopt het natuurlijk zoals jij het zegt

[Phys]

/offtopic: in LaTeX moet je functies zoals ln, sin, cos, exp enzovoort beginnen met een "" dus [ tex]ln{x}[/tex]

\(\ln{x}\)

i.p.v.

\(\lnx\)

[Cycloon]

Ja dat wist ik, maar dat scheelt me af en toe wel eens een Uiteindelijk is het verschil maar klein imo.

[TD]

Lukt die eerste nu door twee kee l'Hôpital toe te passen? Ik vind wel -1/2 in plaats van 1/2 zoals het boek...

Bij twee begin je goed, je hebt dus:

\(\left( {\tan x} \right)^{\cos x} = \exp \ln \left( {\left( {\tan x} \right)^{\cos x} } \right) = \exp \left( {\cos x\ln \left( {\tan x} \right)} \right)\)

Dan geldt:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \left( {\tan x} \right)^{\cos x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \exp \left( {\cos x\ln \left( {\tan x} \right)} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \cos x\ln \left( {\tan x} \right)} \right)\)

Nu eerst als volgt herschrijven (je hebt 0/0 of inf/inf nodig) en dan l'Hôpital:

\(\cos x\ln \left( {\tan x} \right) = \frac{{\ln \left( {\tan x} \right)}}{{\frac{1}{{\cos x}}}}\)