Onbepaalde integraal

[azerty]

Ik mijn cursus staat de volgende oefening:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{x} - \sqrt[4]{x}}\)

Normaal gezien zou je in staat moeten zijn deze op te lossen aan de hand van subsitutie. Ik heb echter al geprobeerd om t=

\(\sqrt[4]{x}\)

of t =

\(\sqrt{x}\)

maar ik kan deze integraal maar niet oplossen.

[PeterPan]

vermenigvuldig teller en noemer met

\((\sqrt{x}+\sqrt[4]{x})(x+\sqrt{x})\)

[azerty]

je bekomt dan

\(\int \frac{(\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}) * (x + \sqrt{x}) * dx}{x² - x} \)

Indien je dan t =

\(\sqrt[4]{x}\)

, dan bekom je na een vereenvoudiging

\(4 * \int \frac{(t^5 + t^4 + t^3) * dt}{t^4 - 1}\)

Maar dan zit ik vast.

[A.Square]

Dat is gewoon het quotient van twee polynomen.

Dus eerst staartdelen, en dan breuksplitsen.

[Morzon]

pas staartdeling (veeltermdeling) toe, zodat de hoogste macht van de teller groter is dan die van de noemer. Je zal dan iets krijgen in de vorm van

\(a+b+\frac{.....}{x^4-1}\)

dit kan je dan integreren door breuksplitsen en substitutie.

[aadkr]

\(x=t^4\)

\(\frac{dx}{dt}=4 t^3\)

\(\int\frac{4t^3}{(t^2-t)}\)

\(4\int\frac{t^2}{(t-1)} dt\)

\(4\int(t+\frac{t}{t-1})dt\)

[azerty]

Hoe los je dit dan verder op want ik vind niet hoe ik dit moet oplossen:

\(\int(\frac{t}{t-1})dt\)

[TD]

Teller: t = (t-1)+1 en in twee stukken splitsen.

[Pongping]

Ja, inderdaad zoals TD zegt:

\(\int\frac{t}{t-1}dt=\int\frac{(t-1)+1}{t-1}dt=\int\frac{t-1}{t-1}dt+\int\frac{1}{t-1}=t+\ln|t-1|+c\)