1/0 = x

[John Nash]

Als je zoals men

\(i^2=-1\)

nam, een x definieert met

\(1/0=x\)

, wat heeft dit dan voor gevolgen? (levert het wat op?)

Zou je dan ook een soort van imaginair vlak kunnen bedenken, bijvoorbeeld.

[Bart]

Dat zou tegen de axioma's van de huidige wiskunde ingaan. 0 * x is immers gedefinieerd als 0 voor alle getallen.

[Math-E-Mad-X]

Dat vind ik iets te kort door de bocht. Nul is gedefinieerd als volgt:

y+0 = 0+y = y voor alle getallen y. (m.a.w. 0 is het identiteitselement van een abelse groep).

Je krijgt dan rare vergelijkingen als

1 = x*0 = x*(1-1) = x-x

Dit ziet er misschieen raar uit, maar dit hoeft nog niet direct 'ongeldig' te zijn, omdat x immers geen gewoon getal is.

Je komt echter wel in de problemen met associativiteit:

0*(0*x) = 0*1 = 0

(0*0)*x = 0*x = 1

Je zou dit misshien kunnen oplossen door over te gaan op niet-associatieve algebra. Geen idee of hier een wiskundige theorie over bestaat. Maar ik zou zeker niet willen zeggen dat dit onmogelijk is.

(associatief betekent: (a*b)*c = a*(b*c) voor alle getallen a, b en c.)

[John Nash]

Dank voor je inhoudelijke reactie

Ja inderdaad zie ik dat de associativiteit niet meer opgaat, dan definieren we die 'weg'. Kijken waar we terecht komen.

We nemen dus zoals je liet zien als uitgangspunten:

\(1/0=x\)

en:

\(x*0=1\)

Optellen en aftrekken wordt dan zoiets:

\(ax + bx = (a + b) x \)

met {a[ongelijk]0, b[ongelijk]0}

\(ax+bx =2 \)

met {a=0, b=0}

Delen zoiets:

\(ax / bx = (ax * 1/x) * 1/b = (ax * 0) * 1/b = a/b \)

EDIT: of gebruik ik hier assoc. ax*0=a(x*0)=a*1?

met {a 0, b[ongelijk]0}

\(ax / bx = (ax * 1/x) * 1/b = (0x * 0) * 1/b = 0 \)

met {a=0, b[ongelijk]0}

\(ax / bx = (ax * 1/x) * 1/b = (ax * 0) * 1/0 = ax \)

met {a[ongelijk]0, b=0}

\(ax / bx = (ax * 1/x) * 1/b = (0x * 0) * 1/0 = 1 \)

met {a=0, b=0}

Vermenigvuldigen:

\(ax * bx = ax \)

met {a[ongelijk]0, b=0}

\(ax * bx = 1 \)

met {a=0, b=0}

EDIT: zoals je ziet... nog vol foutjes...

[TD]

Binnen de reële getallen zal dit niet lukken, het is te zeggen: niet als je wilt dat R een veld (NL: lichaam) blijft.

Er bestaat wel een soort algebra (ze hebben de naam "wheel" gekregen) waarin deling door 0 gedefinieerd is.

Elke commutatieve ring (zoals de reële getallen, die dus zelfs een veld zijn) kun je uitbreiden tot zo'n wheel.

Voor de geïnteresseerden, dit is een pdf-bestand over wheels, het is wel vrij "wiskundig" natuurlijk.

[Math-E-Mad-X]

'Delen door' is normaal gesproken gedefinieerd als 'vermenigvuldigen met het inverse element' .

dus a/b := a*b^-1.

In dit geval geldt dus 0^-1 = x en x^-1 = 0.

Als het goed is hoef je deling dus niet apart te definieren, als je kan vermenigvuldigen kan je ook delen. Zolang je maar goed op de volgorde van vermenigvuldiging blijft letten.

[TD]

Dat klopt, bij een veld (lichaam) zoals de reële getallen horen twee operaties, "optelling" en "vermenigvuldiging".

Het delen is gedefinieerd via het feit dat elk van 0 verschillend getal een multiplicatief invers moet hebben.

[Gijs]

dus wat ik lees (maar ik heb er dan ook de ballen verstand van is) één gedeelt door nul is x toch? Dit lijkt me logisch omdat ik dit op school krijg. Voordat jullie me dus voor gek verklaren met deze vraag wil ik eerst zeggen dat ik niet zeker of ze in de hogere wiskunde ook dezelfde tekens voor andere dingen gebruiken. Maar als er staat 1 gedeelt door 0 is x. Is mijn vraag: wat is x dan precies?

[Math-E-Mad-X]

dus wat ik lees (maar ik heb er dan ook de ballen verstand van is) één gedeelt door nul is x toch? Dit lijkt me logisch omdat ik dit op school krijg. Voordat jullie me dus voor gek verklaren met deze vraag wil ik eerst zeggen dat ik niet zeker of ze in de hogere wiskunde ook dezelfde tekens voor andere dingen gebruiken. Maar als er staat 1 gedeelt door 0 is x. Is mijn vraag: wat is x dan precies?

Ten eerste: hoezo krijg je dit op school? ik denk dat je hier in de war bent met iets anders want dit krijg je niet eens op de universiteit.

En wat x hier precies betekent: x betenkent gewoon 1/0 per definitie. Dat wil zeggen: we voeren een nieuw wiskundig object in wat we x noemen en x voldoet aan x = 1/0. Meer dan dit valt er gewoon niet over te zeggen. x betekent wat het is.

[CloudedHeaven]

Is mijn vraag: wat is x dan precies?

X zou de uitkomst van de deling moeten zijn.

Maar die uitkomst kan er niet zijn omdat het een oneindige deling (bewerking) is.

[edit]: afhankelijk van hoe je de deling gaat oplossen

[Gijs]

Ten eerste: hoezo krijg je dit op school? ik denk dat je hier in de war bent met iets anders want dit krijg je niet eens op de universiteit.

.[/quote]

Nee dat denk ik niet want delen krijg je ook op school. En ik snap best dat je dat van die oneindige deling ofzo niet gewoon op school krijgt. Volgens de middelbare school is namelijk 1/0 ook gewoon 0. Maar als je erover nadenkt is delen hoeveel keer past iets in iets anders en nul is niks en niks past oneindig keer in 1. Dus dat snap ik. En trouwens hoezo krijg je dit niet eens op de universiteit waar moet je het dan leren?

[CloudedHeaven]

En trouwens hoezo krijg je dit niet eens op de universiteit waar moet je het dan leren?

Waarschijnlijk op de basis school

Volgens de middelbare school is namelijk 1/0 ook gewoon 0.

Ik heb begrepen dat de geleerden, om redenen, gewoon zeggen dat 1/0 fout is.

[TD]

Volgens de middelbare school is namelijk 1/0 ook gewoon 0.

Dat zul je verkeerd begrepen hebben, of je had een slechte leraar. Dit kan niet, 0*0 is immers 0 en zeker niet 1.

[Math-E-Mad-X]

Nee dat denk ik niet want delen krijg je ook op school. En ik snap best dat je dat van die oneindige deling ofzo niet gewoon op school krijgt. Volgens de middelbare school is namelijk 1/0 ook gewoon 0. Maar als je erover nadenkt is delen hoeveel keer past iets in iets anders en nul is niks en niks past oneindig keer in 1. Dus dat snap ik. En trouwens hoezo krijg je dit niet eens op de universiteit waar moet je het dan leren?

Wat voor slechte school zit jij, dat ze je leren dat 1/0 = 0????

Als je een goede wiskunde leraar hebt dan zegt hij je dat 1/0 niet gedefinieerd is. Wat wij hier proberen te doen is zelf een object x te definieren dat per definitie voeldoet aan 1/0 = x. De reden dat je dit meestal niet op de universiteit krijgt is dat je hier verder weinig aan hebt. We doen dit gewoon omdat het leuk is. Maar je zal er niet veel zinnige dingen mee uit kunnen rekenen.

[Gijs]

Volgens de middelbare school is namelijk 1/0 ook gewoon 0.

Dat zul je verkeerd begrepen hebben, of je had een slechte leraar. Dit kan niet, 0*0 is immers 0 en zeker niet 1.

Ja maar 1*0 is ook 0 dus 1 gedeelt door nul is dus ook nul aldus mijn basisschool leraar. Meester john (als je over het slechte basis onderwijs wilt klagen moet je maar bij hem zijn.) Ik gebruikte trouwens middelbare school omdat ik daar nu zit. Niet omdat ze me nog moeten leren te delen. Dat zou inderdaad slecht onderwijs zijn. Of domheid van mij.