machten

[eric kortenhoef]

Ik probeer een beetje de basiswiskunde regeltjes te begrijpen

met betrekking tot machten verheffen.

2^-1, 2^0, 2^1, 2^2 bij hele getallen kan ik begrijpen wat er gebeurt

maar zodra dit met breuken gebeurt kan ik het antwoord niet meer

verklaren bv bij 2^1/2 of 2^1/3 of 2^1,5

groeten Eric

[Bert]

De fundamentele eigenschap van een macht is dat a^xa^y=a^x+y. Het ligt dus voor de hand om van een definitie van machten met een niet gehele exponent te eisen dat deze eigenschap blijft gelden. Voor x=0.5 vind je dan bijvoorbeeld a^0,5a^0,5=a^0,5+0,5=a.

Met andere woorden: als je wilt dat een macht zich gedraagt zoals boven beschreven dan moet je a^0,5 wel definieren als wortel(a). Op dezelfde manier volgt de definitie van machten met andere gebroken exponenten. Met reële exponenten volgt de definitie door de exponent de benaderen met rationele getalen. Een complicerende factor is dat, net zoals de wortel uit 4 als uitkomst +2 of -2 kan hebben, ook machten met reële exponenten meerwaardig kunnen zijn. Dat neemt niet weg dat de uitkomst van machten met rationele exponenten gewoon op de volgende defintie berusten: x=a^p/q is de oplossing van x^q=a^p

[Rogier]

Een handig voorbeeld is ook de rente die je krijgt op de bank. Als je bijvoorbeeld 4% rente krijgt, wordt je spaargeld eigenlijk elk jaar vermenigvuldigd met 1,04 en je geld 15 jaar erop laten staan is dus eigenlijk vermenigvuldigen met 1,04¹⁵. Maar je geld een half jaar erop laten staan is dan: maal 1,04^1/2, en omdat 1 jaar hetzelfde is als twee keer een half jaar krijg je 1,04^1/2·1,04^1/2=1,04. Zo ook met andere delen (breuken) van een jaar.