Aantal mogelijkheden bij loterij

[Pongping]

Hallo,

Ik vraag me af op hoeveel manieren men een loterij ticket kan invullen als men de getallen in stijgende volgorde moet invullen. Dus bijvoorbeeld

{5,8,19,34} zou een geldig ticket zijn

{6,4,8,1} zou niet geldig zijn

Men weet ook dat men n getallen moet kiezen uit m mogelijkheden.

Ik zou het ook graag weten als men meerdere keren dezelfde getal mogen invullen.

Iemand een idee?

Bvb

[kotje]

Ik denk hierbij aan de lotto, volgorde invullen geen belang.

Dus

\(C^m_n=\frac{m!}{n!(m-n)!}\)

Ik zou het ook graag weten als men meerdere keren dezelfde getal mogen invullen.

?

[Rogier]

Hallo,

Ik vraag me af op hoeveel manieren men een loterij ticket kan invullen als men de getallen in stijgende volgorde moet invullen. Dus bijvoorbeeld

{5,8,19,34} zou een geldig ticket zijn

{6,4,8,1} zou niet geldig zijn

Men weet ook dat men n getallen moet kiezen uit m mogelijkheden.

Wat kotje zegt, dus als bijvoorbeeld n=5 en m=80: "80 boven 5" =

\({80 \choose 5}\)

= 24040016

Ik zou het ook graag weten als men meerdere keren dezelfde getal mogen invullen.

Dan wordt het

\({{80+5-1} \choose 5} = {84 \choose 5}\)

= 30872016

In het algemeen:

\({{n+m-1} \choose n}\)

[TD]

Zie ook hier, "herhalingscombinatie".

[Pongping]

Ja dit wist ik wel. Maar ik zou graag willen weten hoe men dat berekent als men in stijgende volgorde getallen moet invullen. Dus bijvoorbeeld {1,3,5,10} is goed maar {4,3,6,7} is niet goed. Begrijpen jullie wat ik vraag?

[Rogier]

Ja dit wist ik wel. Maar ik zou graag willen weten hoe men dat berekent als men in stijgende volgorde getallen moet invullen. Dus bijvoorbeeld {1,3,5,10} is goed maar {4,3,6,7} is niet goed. Begrijpen jullie wat ik vraag?

Wat hierboven staat is dat al. In stijgende volgorde komt overeen met "volgorde doet er niet toe", want ieder willekeurig setje getallen wil je maar één keer meetellen (n.l. die in stijgende volgorde).

Als het niet in stijgende volgorde moest, dan zouden de antwoorden zijn: 80!/75! als ze allevijf verschillend moeten zijn, of 80⁵ als je ook meer dezelfde mag gebruiken.

[Pongping]

Maar als je een gewone combinatie doet, dan reken je toch allemaal mogelijkheden mee die niet correct zijn? Of begrijp ik het verkeerd...

[TD]

In een gewone combinatie is de volgorde niet van belang, je telt dus (5,2,3) bijvoorbeeld, maar dan niet (2,3,5).

Voor het aantal maakt dat echter niet uit: je telt de "juiste", of één "foute" maar in de plaats van één niet-getelde "juiste".

[Rogier]

Bekijk het anders eens zo:

\({80 \choose 5} = \frac{80!}{75! \cdot 5!}\)

Nu neem je eerst een permutatie van 5 uit 80, dat is 80!/75!, dat is dan het aantal mogelijkheden om willekeurig 5 getallen te trekken. Dan tel je bijvoorbeeld {2,3,6,8,15} mee, maar ook {6,2,8,3,15} en {8,2,3,15,6} enz.

Nou wil jij ieder setje van 5 getallen maar één keer meetellen, namelijk precies die ene volgorde waarin het rijtje stijgend is. Daarom deel je nog eens door het aantal manieren waarop je ieder rijtje van 5 onderling kunt sorteren, en dat is 5!.

(Let dus op het verschil qua betekenis van permutatie en combinatie)

[Pongping]

Ow ok nu snap ik het! hartstikke bedankt!