Wat is topologie precies en waar wordt het toegepast?

[wilcoholic]

Wat is topologie precies en waar wordt het toegepast? Ik heb het een beetje op wikipedia geprobeert te lezen maar ik kan me er nog steeds niets bijvoorstellen.

En zijn er ook toepassingen ervoor? Of is het echt pure theorie

[PeterPan]

Hoewel er ook theoretische kant aan is, is het het meest toegepaste gebied van de wiskunde.

[wilcoholic]

Kan je een paar voorbeelden noemen? In welk vakgebied wordt het veel gebruikt? Biologie? Natuurkunde?

[PeterPan]

Topologie is zeer basic. Wat getallen zijn voor de calculus, is topologie voor de hogere wiskunde.

Topologie wordt toegepast in vrijwel elk wiskundevak, dus om wat te noemen

in de statistiek/stochastiek, differentiaalmeetkunde, algebraische meetkunde, functionaalanalyse, Liealgebra's enz. enz. enz.

De topologie is een zeer uitgebreid vakgebied, met onderverdelingen zoals differentiaaltopologie, algebraische topologie enz. enz.

Elke wetenschap die gebruik maakt van wiskunde maakt impliciet gebruik van topologie.

[PeterPan]

Wat is topologie?

Dat is een lastige vraag. De bestudering van open en gesloten verzamelingen.

Topologie begint met het definieren van het begrip afstand.

Afstand (=kortste afstand) is niet altijd het zelfde.

Voor een smokkelaar is dat het aantal grensovergangen, en voor een mooie auto de kortste route via een verharde weg.

Als het begrip afstand gedefinieerd is, kun je begrippen als open en gesloten verzamelingen definieren.

De eigenschappen die open en gesloten verzamelingen hebben kun je weer zien als definities van open en gesloten zonder te refereren naar een eventueel afstandsbegrip. Maar dat is nog maar een begin.

[physicalattraction]

Bij topologie zijn afstanden en absolute vormen toch juist irrelevant? Een sigaar, een omgeklapte sigaar en de aarde zijn allen topologisch equivalent, daar ze door alleen te vervormen (en dus niet te verknippen) exact dezelfde vorm kunnen krijgen.

[Math-E-Mad-X]

Zelf ben ik gespecialiseerd in knopentheorie wat weer een sub-gebied is van algebraische topologie. Toevallig weet ik dat dit toepassingen heeft in DNA-technologie. Een DNA-streng ligt namelijk helemaal verstrengeld in een celkern en om zo'n DNA-streng te kunnen kopieren moet hij eerst helemaal ontward worden. Enzymen moeten hiertoe de streng op bepaalde manieren open knippen.

De vraag is dus: hoe kan ik een knoop uit de knoop halen d.m.v. knippen. Het gaat alleen om de manier hoe hij in de knoop zit en de precieze vorm en lengte maken niet uit. Het is een topologisch vraagstuk dus.

[eendavid]

Bij topologie zijn afstanden en absolute vormen toch juist irrelevant? Een sigaar, een omgeklapte sigaar en de aarde zijn allen topologisch equivalent, daar ze door alleen te vervormen (en dus niet te verknippen) exact dezelfde vorm kunnen krijgen.

nog even hierover. Volledig rigoureus heb je inderdaad gelijk, maar om andere redenen. In feite is een topologische ruimte een verzameling S samen met een familie deelverzamelingen (waarin S en {0} zitten). Een doorsnede of een unie van 2 deelverzameling van de familie moet terug een deelverzameling van de familie zijn. Deze deelverzamelingen noemt men open verzamelingen. Op die manier kunnen continue functies tussen 2 topologische ruimten gedefinieerd worden (een open verzameling moet in een open verzameling worden omgezet). Als er een homeomorfisme (continu en bijectief) tussen 2 topologische ruimten bestaat zijn de topologische ruimten homeomorf, of 'topologisch equivalent'. Merk op dat dit een zeer algemene definitie is.

Maar zeer vaak (o.a. in alle gevallen die jij opbrengt) zijn de open verzameling gewoon open ballen, die dus gedefinieerd worden bij gratie van een afstand. En je kan dus zeggen dat topologie begint zodra je een afstand hebt gedefinieerd. In dat geval komen we bij de verhaaltjes van sigaren die topologisch equivalent zijn met de maan en theekopjes topologisch equivalent met een donut (volgens de definitie hierboven gegeven). Deze equivalentie is maar gedefinieerd dankzij het definieren van een afstand. Afstanden hebben dus wel degelijk een belang in heel wat gevallen van topologie.

[Math-E-Mad-X]

Sorry, maar hier ben ik het niet mee eens. Topologie is een generalisatie van het begrip afstand. Je begint dus idd met afstanden. Maar vervolgens ga je het verhaal abstracter maken zodat je het hele idee van afstanden juist niet meer nodig hebt. Je kan allerlei zeer abstracte uitspraken doen over topologische ruimten waarbij het begrip afstand geen enkele betekenis meer heeft.

Denk bijvoorbeeld aan niet-Hausdorff ruimtes. Dit zijn ruimtes waarin zich tenminste 2 punten bevinden die niet d.m.v. de topologie van elkaar gescheiden kunnen worden. Dit zou zoiets betekenen als 2 punten met onderlinge afstand nul, wat nergens op slaat. Het elegante is nou juist dat je hier toch over kunt spreken zolang je het over een abstracte topologie hebt en niet over een door afstand geïnduceerde topologie.

Hoe heb je topologie geleerd? Bij theoretische natuurkunde of echt als wiskundevak? Dat maakt nogal een verschil namelijk.

Overigens klopt het ook niet als je zegt dat S en {0} altijd in de topologie zitten. Je bedoelt S en de lege verzameling.

[eendavid]

zo wild...

Sorry, maar hier ben ik het niet mee eens. Topologie is een generalisatie van het begrip afstand. Je begint dus idd met afstanden. Maar vervolgens ga je het verhaal abstracter maken zodat je het hele idee van afstanden juist niet meer nodig hebt. Je kan allerlei zeer abstracte uitspraken doen over topologische ruimten waarbij het begrip afstand geen enkele betekenis meer heeft.

Denk bijvoorbeeld aan niet-Hausdorff ruimtes. Dit zijn ruimtes waarin zich tenminste 2 punten bevinden die niet d.m.v. de topologie van elkaar gescheiden kunnen worden. Dit zou zoiets betekenen als 2 punten met onderlinge afstand nul, wat nergens op slaat. Het elegante is nou juist dat je hier toch over kunt spreken zolang je het over een abstracte topologie hebt en niet over een door afstand geïnduceerde topologie.

Dus wat vind je precies verkeerd? mijn beschouwing van een topologische ruimte als studieobject van de tak topologie? Je bent het duidelijk eens dat afstand niet nodig is...

Hoe heb je topologie geleerd? Bij theoretische natuurkunde of echt als wiskundevak? Dat maakt nogal een verschil namelijk.

Theoretische natuurkunde. Zonder hoogmoedig te willen doen: ik zit nu samen met wiskundigen in een vak dat steunt op topologie, en ondervind niet echt hinder. Niet dat dit de discussie zou mogen beïnvloeden trouwens (een eenvoudig voorbeeld is Heavyside, bovendien lijkt het me echt moeilijk om zo snel mijn wiskundig niveau te beoordelen)

Overigens klopt het ook niet als je zegt dat S en {0} altijd in de topologie zitten. Je bedoelt S en de lege verzameling.

ok

[PeterPan]

Een topologie waarbij een afstandsfunctie (metriek) gevonden kan worden die de open verzamelingen voortbrengt wordt een metriseerbare topologie genoemd.

[eendavid]

ik merk nu pas dat m-e-m-X lijkt te denken dat ik schreef dat een afstand nodig is om aan topologie te doen. Ik zou even duidelijk willen stellen dat niemand hier die mening is toegedaan (en dat je scherp zou mogen reageren moest ik dat geschreven hebben)... het was net mijn bedoeling uit te leggen dat je afstand niet nodig hebt, maar dat dat niets te maken heeft met het verhaal van de theekop en de donut.

[Math-E-Mad-X]

Sorry, ik had je verhaal niet zorgvuldig genoeg gelezen ik zie dat het klopt wat je zegt.

Excuses.

Overigens wil ik nog wel even toevoegen dat het onderwerp topologie bij theoretische natuurkunde over het algemeen zwaar ondermaats gegeven wordt, hier in Amsterdam wel in elk geval.

Ik bedoel daar verder niets mee over jouw niveau van wiskunde ofzo, want dat kan ik idd niet beoordelen. Maar dat soort dingen moet ik gewoon even kwijt. Al was het maar omdat hier misschien wel toekomstige theoretische natuurkundigen rondhangen, voor wie het echt een aanrader is om het vak topologie bij wiskunde te volgen.

[eendavid]

dat gebeurt .

Ik hoorde dat vroeger Dijkgraaf daar een vak over doceerde. Blijkbaar doceert hij nu in het geheel niet meer(?)

Bij ons, ach, idem. Differentiaalmeetkundige geometrie en Liegroepen en -algebras wordt gedoceerd aan een groep waarin mensen zitten zonder voorkennis topologie (incluis ikzelf in het begin van dit jaar). Deze vakken worden er dan op gericht dat je er rond werkt (dus mijn inleidende zelfstudie was nog eens nutteloos ook). Ik vind dat ook jammer, en zal alsnog topologie bij de wiskunde volgen.

[Math-E-Mad-X]

Heeft Dijkgraaf ooit topologie gegeven? moet dan minstens 5 jaar geleden zijn. Tegenwoordig geeft hij geloof ik alleen nog eerstejaarsstudenten af en toe college maar verder helemaal niet meer nee. Hij is veel te druk met andere dingen.