[wiskunde] integralen / integreren

[Morzon]

\( m=3x-4 \Rightarrow x=\frac{m+4}{3} \Leftrightarrow dx=\frac{1}{3} \ dm \)

\(\int \frac{x}{(3x+4)^3} \ dx = \frac{1}{9} \int \frac{m+4}{m^3} \ dm=\frac{1}{9} \int (\frac{1}{m^2}+\frac{4}{m^3}) \ dm =-\frac{1}{9m}-\frac{2}{9m^2} \ dm\)

edit:sorry TD.

[TD]

Ik zag "foutje" staan, had niet door dat je er nog aan bezig was, vandaar dat ik het verwijderde.

[Morzon]

Ik had zijn integraal verkeerd overgetypt, dus er stond een verkeerde uitwerking

[freakyfreak]

Hoi, ik heb weer een probleem bij volgende 2 integralen:

sin x / cos²x

en cosx/ sin x

alvast bedankt

[Morzon]

\(\int \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \ dx \)

substitueer

\(p=\cos{x} \)

\( \int \frac{\cos{x}}{\sqrt{\sin{x}}} \ dx \)

substitueer

\(I=\sin{x}\)

[freakyfreak]

\(\int \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \ dx \)

substitueer

\(p=\cos{x} \)

\( \int \frac{\cos{x}}{\sqrt{\sin{x}}} \ dx \)

substitueer

\(I=\sin{x}\)

ik snap het niet zo goed. dan krijg ik toch sin x / p² *dp, wat moet ik dan verder doen?

[jhnbk]

\(\int \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \ dx \)

cos x = p

-sin x dx = dp

dan wordt de integraal

\(\int \frac{-dp}{p^2} \)

en dan kan je makkelijk verder

[TD]

Wat opgekuisd: topic is zo al groot genoeg, geen onnodige berichtjes svp.

\(\int {\frac{{\sin x}}{{\cos ^2 x}}dx} = - \int {\frac{1}{{\cos ^2 x}}d\left( {\cos x} \right)} \)

\(\int {\frac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {\sin x} }}d\left( {\sin x} \right)} \)

[Morzon]

ik snap het niet zo goed. dan krijg ik toch sin x / p² *dp, wat moet ik dan verder doen?

ik zal de eerste even voor doen:

\(\int \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \ dx \)

we kiezen om

\(p=\cos{x} \)

te substitueren. Dit doen we omdat dan de sinus in de teller verdwijnt en de integraal die we dan krijgen kan makkelijk uitgewerkt worden. We zullen dat nu zien:

\(p=\cos{x} \Leftrightarrow \frac{dp}{dx}=- \sin{x} \Leftrightarrow dx=- \frac{dp}{\sin{x}}\)

\(\int \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \ dx \)

wordt dan

\(\int \frac{\sin{x}}{p^2} \cdot -\frac{dp}{\sin{x}}=- \int p^{-2} \ dp=\frac{1}{p}+C\)

Nu moeten we

\(p=\cos{x} \)

nog terug substitueren. Dus:

\(\frac{1}{p}+C=\frac{1}{\cos{x}}+C\)

[freakyfreak]

Wat opgekuisd: topic is zo al groot genoeg, geen onnodige berichtjes svp.

\(\int {\frac{{\sin x}}{{\cos ^2 x}}dx} = - \int {\frac{1}{{\cos ^2 x}}d\left( {\cos x} \right)} \)

\(\int {\frac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {\sin x} }}d\left( {\sin x} \right)} \)

Ok die eerste snap ik nu, maar die tweede begrijp ik niet hoe je dat doet. Is het mogelijk om het eens stap voor stap te doen a.u.b?

[TD]

Met een extra variabele: stel y = sin(x), dan is dy/dx = cos(x) dus dy = cos(x)dx.

\(\int {\frac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }}dx} \to \int {\frac{{dy}}{{\sqrt y }}} = \int {y^{ - \frac{1}{2}} dy} \)

Dat integreren zal wel lukken? Dan terug y = sin(x) vervangen.

[freakyfreak]

bij de integraal van

sin x ^4 / cos²x * dx

is dan t = cos x en dt = -sin x * dx

wordt dat dan de integraal van -dt^4/t² ?

of hoe moet ik het anders doen?

[TD]

Uit sin²x+cos²x = 1 volgt sin²x = 1-cos²x. Herschrijf de teller: (sin²x)² = (1-cos²x)²:

\(\frac{{\sin ^4 x}}{{\cos ^2 x}} = \frac{{\left( {1 - \cos ^2 x} \right)^2 }}{{\cos ^2 x}} = \frac{{1 - 2\cos ^2 x + \cos ^4 x}}{{\cos ^2 x}} = \frac{1}{{\cos ^2 x}} - 2 + \cos ^2 x\)

Nu kan je term per term integreren. De eerste is de afgeleide van een gekende functie, de tweede is standaard en voor de derde term kan je gebruiken dat:

\(\cos ^2 x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\)

[freakyfreak]

nog juist een probleempje bij:

s= dat integraal teken

de integraal van sin^3 x

en bij de integraal van sin^4x * cos²x * dx

doe ik dus S ((1-cos2x)/2)² * ((1+cos2x)/2) *dx = S (1-2cos2x+cos²2x)/4 * (1+cos2x)/2 = 1/8S(1-2cos2x+cos²2x + cos2x-2cos²2x+cos³2x)dx = 1/8S (1-cos2x-cos²2x+cos³2x) dx en daar zit ik vast. hoe moet ik verder doen?

[jhnbk]

sin x sin²x = sin x (1- cos ² x)

uitwerken, splitsen en substitutie op het laatste deel