[wiskunde] integralen / integreren

[TD]

nog juist een probleempje bij:

s= dat integraal teken

de integraal van sin^3 x

\(\int {\sin ^3 xdx} = \int {\sin x\sin ^2 xdx} = \int {\sin x\left( {1 - \cos ^2 x} \right)dx} \to y = \cos x \cdots \)

en bij de integraal van sin^4x * cos²x * dx

doe ik dus S ((1-cos2x)/2)² * ((1+cos2x)/2) *dx = S (1-2cos2x+cos²2x)/4 * (1+cos2x)/2 = 1/8S(1-2cos2x+cos²2x + cos2x-2cos²2x+cos³2x)dx = 1/8S (1-cos2x-cos²2x+cos³2x) dx en daar zit ik vast. hoe moet ik verder doen?

Je kan cos²x weer integreren met die verdubbelingsformule.

Die van cos³x kan zoals hierboven, daar was het met sinus.

[freakyfreak]

sin x sin²x = sin x (1- cos ² x)

uitwerken, splitsen en substitutie op het laatste deel

ok dus als ik dat opslits hoe moet ik dat dan verder uitwerken? dat dan vermenigvuldigen?

[TD]

Stel cos(x) = y, dan is dy/dx = -sin(x) of -dy = sin(x)dx. De integraal is dan:

\(\int {\sin x\left( {1 - \cos ^2 x} \right)dx} \to \int {y^2 - 1dy} \)

[freakyfreak]

nog juist een probleempje bij:

s= dat integraal teken

de integraal van sin^3 x

en bij de integraal van sin^4x * cos²x * dx

doe ik dus S ((1-cos2x)/2)² * ((1+cos2x)/2) *dx = S (1-2cos2x+cos²2x)/4 * (1+cos2x)/2 = 1/8S(1-2cos2x+cos²2x + cos2x-2cos²2x+cos³2x)dx = 1/8S (1-cos2x-cos²2x+cos³2x) dx en daar zit ik vast. hoe moet ik verder doen?

als ik dan verder werk kom ik uit o p 1/8x - 1/16sin2x - 1/8S((1+cos4x)/2) + 1/8 ben ik al juist of hebk ergens fout gemaakt?

[TD]

Ik heb je rekenwerk niet gevolgd. Na het integreren kan je altijd terug afleiden om na te gaan of het correct is, je moet dan je integrand terugvinden. Je kan je integralen ook hier controleren, maar let op dat ze in een andere vorm kunnen staan.

[freakyfreak]

hmm mss hebk gwn een fout gemaakt in het begin. heeft er iemand een idee hoe ik in het begin zou moeten starten?

[TD]

\(\sin ^4 x\cos ^2 x = \left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)^2 \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{{1 - 2\cos 2x + \cos ^2 2x}}{4}\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\)

Uitwerken geeft:

\(\frac{1}{8}\left( {1 - \cos 2x - \cos ^2 2x + \cos ^3 2x} \right)\)

Dan integreren.

[freakyfreak]

\(\sin ^4 x\cos ^2 x = \left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)^2 \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{{1 - 2\cos 2x + \cos ^2 2x}}{4}\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\)

Uitwerken geeft:

\(\frac{1}{8}\left( {1 - \cos 2x - \cos ^2 2x + \cos ^3 2x} \right)\)

Dan integreren.

zou u het voor mij eens willen voortypen dat integreren want heb ix op mijn blad staan maar het is niet juist en zie mijn fout niet

alvast bedankt

[jhnbk]

cos 2x geeft gewoon (sin 2 x)/2

voor cos²2x gebruik je gewoon de halveringsformule, dus cos²2x = (1+cos(x))/2

voor het laatste

cos³x = cos x (1-sin²x) en uitwerken en substitutie

[TD]

Die zijn trouwens allemaal eerder aan bod geweest, misschien met sinus in plaats van cosinus. Gewoon hetzelfde toepassen dus, je oefeningen zijn allemaal erg analoog. Het is de bedoeling dat je de methode onder de knie krijgt, niet dat je elke opgave apart ziet en gewoon juist wil krijgen.

[freakyfreak]

cos 2x geeft gewoon (sin 2 x)/2

voor cos²2x gebruik je gewoon de halveringsformule, dus cos²2x = (1+cos(x))/2

voor het laatste

cos³x = cos x (1-sin²x) en uitwerken en substitutie

ij de halveringsforumule wordt dat dan niet cos²2x=(1+cos(4x))/2?

[TD]

Klopt, je moet naar de dubbele hoek.

[freakyfreak]

\(\sin ^4 x\cos ^2 x = \left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)^2 \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{{1 - 2\cos 2x + \cos ^2 2x}}{4}\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\)

Uitwerken geeft:

\(\frac{1}{8}\left( {1 - \cos 2x - \cos ^2 2x + \cos ^3 2x} \right)\)

Dan integreren.

kan het zijn dat er een fout zit?

dat we namelijk 1/8(1-cos2x-cos²2x+cos³2x) moeten uitkomen?

[TD]

klopt het dan dat ik dan :

x/8 - 1/16 sin2x -x/16 - 1/64 sin4x+ 1/8 sin x - 1/24 sin³x

moet uitkomen?

als uitkomst in den boek staat er: x/16 - 1/64 sin4x - 1/48 sin³2x

maar ik zie niet waar ik een fout gemaakt heb

Alle termen zijn juist, behalve de laatste twee. Kijk de integraal van cos³(2x) nog eens na.

Edit: ik zie net dat ik een paar keer cos³x had geschreven, moet natuurlijk cos³(2x) zijn.

[freakyfreak]

dus cos³(2x)= cos²(2x)*cos(2x) vervang ik dan cos²(2x) door (1+cos(4x))/2 of werk ik dan beter met t?