[wiskunde] integralen / integreren

[Morzon]

Ik snap niet waar je dat plots vandaan haalt, die deling?

\( \lim_{c\rightarrow 1} - \ln{(1-c)} \cdot (c-1)-(1-c) -1=(1-c) \cdot \frac{1}{\frac{1}{\ln{(1-c)}}}-1\)

[raintjah]

Ik moet nagaan of

\(\int_{-\infty}^0 \frac{x}{1+e^{-x}}dx\)

convergeert. Ik weet dat

\(\int_{-\infty}^0 \frac{x}{1+e^{-x}}dx < \int_{-\infty}^0 \frac{x}{e^{-x}}dx = \int_{-\infty}^0 xe^x}\)

Na wat uitwerken kom ik tot het volgende:

\(\lim_{c\rightarrow -\infty} (-1-e^c(c-1)) = -1-0\cdot (- \infty)\)

dus de limiet bestaat niet.. Maar ik heb het gevoel dat dit niet klopt? De oplossing staat niet in het handboek

[TD]

Je afschatting is oké, maar de uitwerking van de integraal niet:

\(\int\limits_{ - \infty }^0 {xe^x dx} = \left[ {e^x \left( {x - 1} \right)} \right]_{ - \infty }^0 = e^0 \left( {0 - 1} \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {e^x \left( {x - 1} \right)} \right) = - 1 - 0 = - 1\)

De negatieve exponentiële domineert x, die term gaat naar 0 ipv - .

[raintjah]

De negatieve exponentiële domineert x, die term gaat naar 0 ipv - .

Wat is daar het bewijs voor?

[TD]

Doe bijvoorbeeld l'Hôpital...

[raintjah]

Is dat niet alleen voor / ? Waarschijn niet, anders zou je het natuurlijk niet voorstellen

[TD]

Dit heb je waarschijnlijk toch gezien. Iets van de vorm 0.( ) kan je naar 0/0 of brengen (waar je l'Hôpital op kan toepassen) door f(x).g(x) te herschrijven als f(x)/(1/g(x)) of g(x)/(1/f(x)). Hier:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {e^x \left( {x - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{e^{ - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {x - 1} \right)^\prime }}{{\left( {e^{ - x} } \right)^\prime }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{ - e^{ - x} }} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } e^x = 0\)

[raintjah]

Dit heb je waarschijnlijk toch gezien. Iets van de vorm 0.( ) kan je naar 0/0 of brengen (waar je l'Hôpital op kan toepassen) door f(x).g(x) te herschrijven als f(x)/(1/g(x)) of g(x)/(1/f(x)).

Dat had ik inderdaad al gezien

Maar ben Analyse 1 vergeten in Limburg

[jhnbk]

\(\int_{-\infty}^0 xe^x}dx\)

van af hier kan het ook zo

stel x = -u

dan is dx=-du

\(-\int_{0}^{\infty} u e^{-u}du\)

en zowieso convergeert

[freakyfreak]

bij de integraal : cos²4x doe ik het volgende:

s = dat integraal teken

1/4S cos²4x d4x = 1/8x + 1/8sin4xcos4x +c maar bij de oplossingen staat er dat het maar 1/2 c moet zijn

ik gebruik volgende formule: Scos²x dx= 1/2(x+sinxcosx)+ c

en zou de integraal van (x+3)/(x+1) een partiele integratie zijn of substitutie?

[jhnbk]

C is een constante dus 0.5 C ook, dus maakt het niet uit

de andere

\( \frac{x+3}{x+1 } = \frac{x+1 +2}{x+1 } =1+ \frac{2}{x+1 }\)

[freakyfreak]

C is een constante dus 0.5 C ook, dus maakt het niet uit

de andere

\( \frac{x+3}{x+1 } = \frac{x+1 +2}{x+1 } =1+ \frac{2}{x+1 }\)

maar 1/2x + 1/8(sin4xcos4x) +c is toch niet hetzelfde als 1/8x + 1/8(sin4xcos4x)

dus moet ik toch ergens een fout gemaakt hebben?

[Morzon]

wat is die integraal nou?

\(\frac{1}{4} \int \cos^2{4x} \ dx \)

?

[freakyfreak]

nee de integraal is : cos²4x dx

dus ik vorm hem om naar: 1/4 cos²4x d4x

[Morzon]

in dat geval gebruik je:

\(\cos^2{u}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos{2u} \)

dus:

\(\int \cos^2 {4x} \ dx = \int \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos{8x} \ dx=\int \frac{1}{2} \ dx + \frac{1}{2} \int \cos{8x} \ dx =\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} \int \cos{8x} \ d(8x)\)