Vraagstuk over kansrekenen

[Pongping]

Hallo,

Ik heb het volgende vraagstuk:

Een dossier bevat 1000 facturen. Op deze 1000 zijn er 20 die fouten vertonen. De auditor neemt een steekproef van 50 facturen. Wat is de kans dat er in de steekproef 2 facturen zijn die fouten vertonen?

Het antwoord is 0.00495 maar er staat niet bij hoe ze eraan komen.

Ik heb het volgende gedaan:

Zij X het aantal facturen waar fouten in zitten. We zoeken de kans dat X twee is dus P(X=2).

Ik denk dat X binomiaal verdeeld is met n=50 en p=0.02 want de steekproef telt 50 facturen en op de 1000 zijn er 20 fout dus 20/1000=0.02.

Dus

\(X\sim Bin(50,0.02)\)

\(P(X=2)=\left(\begin{array}{c} 50 \\ 2 \end{array} \right) (0.02)^{2}(0.98)^{48}=0.1858\)

maar dat is blijkbaar niet het goeie antwoord. Wat doe ik fout?

[TD]

Dit soort opgaven horen onder huiswerk, verplaatst.

[Rogier]

X is niet binomiaal verdeeld, want die 50 facturen pakt hij zonder teruglegging.

Het gegeven antwoord lijkt mij trouwens ook niet goed, ik zou zeggen:

\(\pp[X=2] = \underbrace{\frac{980}{1000}\cdot\frac{979}{999}\cdot\frac{978}{998}\cdots\frac{933}{953}}_{(48\times)}\cdot\frac{20}{952}\cdot\frac{19}{951}\cdot{50 \choose 2} \approx 0.1904 \)

[dirkwb]

@rogier: ik weet niet of ik iets fout doe, maar met mijn rekenmachine kom ik met jouw berekening steeds op 0.38076

[Morzon]

\(\pp[X=2] = \underbrace{\frac{980}{1000}\cdot\frac{979}{999}\cdot\frac{978}{998}\cdots\frac{933}{953}}_{(48\times)}\cdot\frac{20}{952}\cdot\frac{19}{951}\cdot{50 \choose 2} =\frac{980!}{1000!} \cdot \frac{950!}{932!} \cdot \frac{20!}{18!} \cdot {50 \choose 2}\approx 0.1904 \)

[dirkwb]

Je hebt helemaal gelijk! Ik haalde op de GR permutaties( 50 nPr 2) en combinaties (50 nCr 2) door elkaar. 50 nCr 2 moet gebruikt worden.

[Rogier]

\(\pp[X=2] = \underbrace{\frac{980}{1000}\cdot\frac{979}{999}\cdot\frac{978}{998}\cdots\frac{933}{953}}_{(48\times)}\cdot\frac{20}{952}\cdot\frac{19}{951}\cdot{50 \choose 2} =\frac{980!}{1000!} \cdot \frac{950!}{932!} \cdot \frac{20!}{18!} \cdot {50 \choose 2}\approx 0.1904 \)

Ja, dat product dat ik had neergezet moet niet helemaal zo worden uitgerekend (of da's in ieder geval niet zo handig).

Het is (50 nCr 2) * (980 nPr 48) * (20 nPr 2) / (1000 nPr 50) = wat jij ook hebt.