Recursieve formule

[ntstudent]

Hallo,

ik heb de volgende formule waarmee ik problemen heb:

\( Un = \frac{1,5n}{n+1}\)

is het mogelijk om hiervan een recursieve formule te zoeken?

Heel erg bedankt, TK

[Zest]

de recursieve formule is in principe dezelfde formule maar dan met bv. +1 voor de N

in dit geval zou dat dus het volgende betekenen:

Un(ieuw) = is bij de oude Un een bij de n oftewel = U(n+1)= (1,5(n+1))/((n+1)+1)

heb je hier iets aan? pi.gif

[Fingolfin]

Je hebt u(n) al in gesloten vorm. Als je nu u(n+1) in u(n) wilt uitdrukken kan je natuurlijk de 1 tjes erbij optellen. Het is ook mogelijk om de recursieve vergelijking te vinden waarvan je huidige formule de oplossing is.

\( u_n=\frac{3}{2} \frac{n}{n+1} \)

\(u_{n+1}=\frac{3}{2} \frac{n+1}{n+2} = \frac{3}{2} \left( \frac{n}{n+2}+ \frac{1}{n+2} \right)=\left( \frac{u_n(n+1)}{n+2}+\frac{3}{2(n+2)} \right)\)

Dit geeft dus de vergelijking:

\(u_{n+1}=\frac{u_n(n+1)+3/2}{n+2}\)

Bij deze vergelijking hoort nog een randvoorwaarde omdat je anders oneindig veel oplossingen hebt. In de oorspronkelijke formule zien we

\(u_0=0\)

. De bovenstaande vergelijking met deze randvoorwaarde zijn samen equivalent aan wat je had.

[Lucas N]

Goed gevonden,

Om de formule helemaal recursief te maken, wil je geen verwijzing naar n, alleen naar u(n).

Dit kun je krijgen door n uit te drukken in u(n), met behulp van je directe formule:

n=u(n)/(1,5-u(n), dan

n+1=1,5/(1,5-u(n)) en

n+2= (3-u(n))/(1,5-u(n))

dit invullen en vereenvoudigen geeft volgens mij:

u(n+1)=1,5^2/(3-u(n))

op evt. rekenfouten na.

ps: je kunt de recursieve formule ook benaderen door dU(n)/dn te berekenen =1/(n+1)^2 ,

dan, bij benadering du(n)/dn gelijk te stellen aan u(n+1)-u(n),

en weer 1/(n+1)^2 uitdrukken in u(n)