Rot van grad altijd nul?

[Bert F]

is de rot van een grad altijd nul? dus

\(\vec{rot} ( \vec{ grad (v) } ) =0 \)

neem bv voor

\( v=x^2y+z^2y+z^3\)

dan zal de gradient hiervan toch:

\(\frac{\partial v}{ \partial x} =2xy \ \ \ \frac{\partial v}{ \partial y}=x^2 +z^2 \ \ \ \frac{\partial v}{ \partial z }=2zy+3z^2\)

Daarvan de determinant berkenen lijkt me niet nul? Groeten.

[Bart]

"lijkt me niet nul" of "is niet nul"? Heb je het al geprobeert uit te rekenen? Er komt wel degelijk de nulvector uit.

[Bert F]

Nee deze heb ik idd nog niet uitgerekend waarvoor excuses. Ik had een andere die ik dacht niet nul te zijn maar toen ik het bericht hier intypte dacht ik een andere goede verzonnen te hebben.

Maar nu lukt het mij bij geen één meer, dus toch klopt de gelijkheid. Maar hoe bewijs je ze dan?

[EvilBro]

Maar hoe bewijs je ze dan?

Heb je gewoon uitschrijven al geprobeerd?

[Fingolfin]

Neem

\(f:R^3 \rightarrow R\)

zodanig dat

\(f \in C^2\)

(zonder de functie verder te kiezen) en schrijf

rot(grad f(x)) volledig uit. Je krijgt zes termen waarbij er telkens paren wegvallen als je de differentiatievolgorde omdraait. Dit kan omdat je f voldoende continu veronderstelt

edit: oeps net te laat

[Bert F]

zo lukt het:



Ik was echter aan het proberen toch een combinaties te vinden die niet zou lukken, ben ik nu zeker er nooit ééntje te vinden?

[Phys]

ben ik nu zeker er nooit ééntje te vinden?

Wat denk je zelf?

Je hebt het nu voor willekeurige functies bewezen, dus...

[Bert F]

ja waarschijnlijk wel. Zolang geldt dat je de afgeleiden kan wisselen zal het wel in orde zijn.

[TD]

En dat mag voor zover de functies niet te stout zijn (als de partiële afgeleiden bestaan en continu zijn, is dat in orde).