Potentiaal

[Jeroen]

Gegeven is het volgende elektrisch veld:

\(&\mathbf{E}& = k[y^2 \^{&\mathbf{x}&} + (2xy + z^2)\^{&\mathbf{y}&} + 2yz \^{&\mathbf{z}&}]\)

Waar k een constante is. Het is de bedoeling dat ik de potentiaal vind van dit veld, met als referentiepunt de oorsprong. Gegeven hint: "Je moet een specifiek pad uitzoeken om over te integreren, het maakt niet uit wat voor pad, omdat het antwoord toch pad onafhankelijk is. Je kan simpelweg niet integreren zonder een specifiek pad in gedachten."

Ik was van volgende vergelijking te gebruiken:

\( V(&\mathbf{r}&) = -\int_0^{&\mathbf{r}&}&\mathbf{E}& \cdot d &\mathbf{l}& \)

Ik begrijp niet helemaal wat ik met dat pad moet, als het niet uitmaakt kan ik toch ook nemen:

\(&\mathbf{r}& = (1,1,1)\)

?

Maar ook als ik even niet naar het pad kijk nog weet ik er even geen raad mee, ik krijg namelijk dit:

\( V(&\mathbf{r}&) = -k \int_0^{&\mathbf{r}&} (y^2 \^{&\mathbf{x}&} + (2xy + z^2)\^{&\mathbf{y}&} + 2yz \^{&\mathbf{z}&}) \cdot (dx\^{&\mathbf{x}&} + dy\^{&\mathbf{y}&} + dz\^{&\mathbf{z}&})\)

wordt:

\( V(&\mathbf{r}&) = -k \int_0^{&\mathbf{r}&} [y^2 dx + (2xy + z^2) dy + 2yz dz]\)

Ik snap nu niet hoe ik dit op moet lossen, want als ik hier die r=(1,1,1) zou gebruiken houdt ik geen functie meer over, maar een waarde en in de opdracht is het de bedoeling dat je je potentiaal controleert met de vergelijking:

\(&\mathbf{E}& = -\nabla V\)

. Dit gaat niet als ik voor V een of andere constante krijg.

Dus hoe ga ik dan te werk?

[Bert F]

\(&\mathbf{E}& = -\nabla V\)

Met deze vergelijking bedoelt men dat het elektrisch veld niets anders is dan de gradiënt van de elektrische potentiaal, die potentiaal kan je zien als energie functie per coulomb of nog energie nodig per coulomb om vanuit je referentie punt te komen tot een ander willekeurig gevraagd punt.

Dus de oplossing van jouw probleem zit hem in het integreren van die gegeven functie en nadien de waarde van het referentie punt invullen.

Je krijgt dan v® waar r ten opzichte van je referentie punt is.

\( V(&\mathbf{r}&) = -k \int_0^{&\mathbf{r}&} [y^2 dx + (2xy + z^2) dy + 2yz dz]\)

Dus die integreer je over x, y en z apart, dus de integraal opsplitsen(lin toepassen). nadien r=0 invullen en opgelost.

[Jeroen]

Dan krijg ik dus

\(V® = -k ([y^2x]_0^r + [xy^2 + z^2y]_0^r + [yz^2]_0^r)\)

.

Dit had ik al eerder, maar ik vulde toen voor r zomaar een waarde in,

in mijn geval 1,1,1. Jij zegt dat ik r=0 moet invullen, maar r=(x,y,z) toch?

Dus als ik dan (0,0,0) invul krijg ik V® = 0 ??[/color]

[Bert F]

klopt je vult nu je punt (0,0,0) in krijgt dan nul als ct waarde.

Vergelijk het met het volgende, stel ik heb

\(y=x^2\)

integreer dan krijg ik

\(Y=\frac{1}{3}x^3\)

ik wil nu de oppervlakten kennen voor elke pos x waarden, de oppervlaktes begrensd door

\(y=x^2\)

dan vul ik analoog mijn ondergrens in dus x=0 ==>>geeft nul en daarom zal deze

\(Y=\frac{1}{3}x^3\)

functie mij de gevraagde oppervlaktes geven voor elke x waarden.

In jouw geval zal de potentiele energie per coulomb gegeven worden door:

\(V® = -k (y^2x + xy^2 + z^2y + yz^2)\)

als je hier (0,0,0) invult bekom je natuurlijk nul maar als je (1,1,1) invult dan heb je

\( v(1,1,1)=-k(1+1+1+1)\)

Begrijp je de analogie met het voorbeeldje?

[Jeroen]

Ja, ik denk dat ik het begrijp. Ze vragen hier om de potentiaal tov 0,0,0 (de oorsprong), maar als ik ga integreren en een waarde voor r invul, heb ik niet meer de gevraagde V®, maar bijv V(1,1,1). Ik moet dus helemaal geen integratiegrenzen invullen omdat ik de algemene uitdrukking voor V wil.

Dit klopt ook inderdaad, want als ik deze potentiaal invul in de gradient vergelijking, krijg ik mijn E-veld weer terug.

Goed voorbeeldje met die x^2 !

[Jeroen]

Ik zie nu dat ik dit trouwens al eerder had opgeschreven, ik had toen alleen als grenzen x, y en z gebruikt, dat komt op hetzelfde neer. De rede dat ik dacht dat het fout was (ik begreep het daar ook minder als nu) was omdat

\(&\mathbf{E}& = -\nabla V\)

niet klopte toen ik het invulde. Ik nam de gradient van V en er kwam 2E uit.

Het vervelende is dat ik nu weer hetzelfde probleem heb, als ik de gradient neem van de gevonden potentiaal, hoort er E uit te komen, maar er komt 2E uit! Of ik doe iets fout met de gradient, of ik begrijp toch iets nog niet helemaal.

[Bert F]

Je zou dat voorbeeldje een beetje kunnen veranderen door niet rechtstreeks geïnteresseerd te zijn in de oppervlakte onder de parabool maar onder de het vierkantje met coördinaten (0,0) en (1,1) en dan de oppervlakte berekenen voor iedere waarden x>1 dan bekom je niet meer de ct die nul is maar 1.

Ja, ik denk dat ik het begrijp. Ze vragen hier om de potentiaal tov 0,0,0 (de oorsprong), maar als ik ga integreren en een waarde voor r invul, heb ik niet meer de gevraagde V®, maar bijv V(1,1,1). Ik moet dus helemaal geen integratiegrenzen invullen omdat ik de algemene uitdrukking voor V wil.

Wel je ondergrens, in dit geval die (0,0,0) maar geen tweede grens natuurlijk dan heb je geen algemene vergelijking meer.

Groeten.

[Bert F]

je potentiaal is

\(V® = -k (y^2x + xy^2 + z^2y + yz^2)\)

afleiden geeft:

naar x:

\( \frac{\partial v }{\partial x} =- k ( y^2 + y^2 )\)

naar y:

\(\frac{\partial v}{\partial y}=-k (2yx + 2xy + z^2 + z^2 )\)

naar z:

\(\frac{\partial v} {\partial z}=-k (2zy + 2yz) \)

Ik kom op het eerste zicht ook 2E uit dan is er wat mis met je integraal alleen zie ik niet zo dadelijk wat?

Ik denk dat je de tip nog eens moet lezen, is je e-veld wel conservatief?

[Jeroen]

Ja er staat letterlijk: "It doesn't matter what path you choose, since the answer is path-independent..." Onafhankelijk van het pad, dat wil toch juist zeggen dat het conservatief is?

edit: Het hele verhaal wat er staat:

You must select a specific path to integrate along. It doesn't matter what path you choose, since the answer is path-independent, but you simply cannot integrate unless you have a particular path in mind.

We hebben toch niets met een pad gedaan? Wat willen ze daar mee?

[Bert F]

Engels is nooit mijn sterkste kant geweest maar spreken ze hun niet wat tegen? het zou pad onafhankelijk zijn of dus conservatief. en toch zou je een pad moeten hebben voor je integreert dus toch niet conservatief oftwel pad afhankelijk.

Ik probeerde de rotatie van dat gegeven e-veld eens te berekenen en ik denk dat het een niet conservatief veld is, dus rekening houden met pad tijdens integratie.

[Jeroen]

Rotatie komt toch gewoon nul uit? Dat had ik ook berekend. Heb ik dat zeker ook fout gedaan. Dat was het eerste onderdeel van de opdracht. Er waren twee velden gegeven en je moest dat potentiaalgedoe toe passen op het veld waar de rotatie nul was.

[Bert F]

nee die zal wel nul zijn, heb het opnieuw berekenend zie dan ook niet direct wat er nog mis is.

[Jeroen]

Nou, dan laat het daar maar even bij, misschien zie ik het later nog een keer. Ondertussen zit ik wel vast bij een andere opdracht in hetzelfde vakgebied. Ik zal die ook maar in deze topic zetten:

De opdracht:

Twee bollen elk met straal R en oppervlaktelading

\(+\rho\)

en

\(-\rho\)

, zij zo geplaatst dat ze elkaar gedeeltelijk overlappen. Noem de vector van het pos centrum to het neg centrum d. Laat zien dat het veld in de overlapping constant is en vind de waarde van dit veld.

Het gaat mij vooral even om het berekenen van het veld, ik heb geen idee hoe ik dat aan moet pakken...

[Fingolfin]

In plaats van ingewikkeld te integreren kun je in dit geval ook

\(E=-\nabla V\)

directer gebruiken. Het komt welliswaar neer op primitiveren, maar het is in dit geval makkelijker gewoon te bedenken hoe de functie V eruit moet zien.

Bijvoorbeeld uit

\(- \frac{\partial V}{\partial x}=k y^2\)

leidt je af dat V eruitziet als

\(V=-k x y^2 + c\)

waarbij c een term is die niet van x afhangt (mogelijk meerdere termen die van y en of z afhangen).

Analoog doe je dit voor de y en z component in E. Combineren hiervan geeft je

\(V=-k(x y^2+y z^2)\)

.

Natuurlijk kan je voor ieder punt in de ruimte ook een lijnintegraal bereken, wat iets meer werk is. Het is wel zo dat je met een conservatief veld te maken hebt (dit volgt ze en zo al uit het feit dat je een scalar potentiaal hebt), maar om zo'n integraal uit te rekenen moet je een te volgen pad kiezen. Het maakt niet uit (behalve in de hoeveelheid rekenwerk) welk pad je kiest.

[aadkr]

Zoals fingolfin al aangaf:

De elektr. potentiaal is:

\(V=k.(x.y^2+y.z^2)\)

DE rotatie is inderdaad nul.