Opgaven impliciet differentieren

[Maverick2k]

De onderstaande opgave krijg ik maar niet opgelost:

Vindt y'' in termen van x en y

\( xy=x+y\)

Mijn uitwerking:

\(xy=x+y\)

\(y+xy'=1+y'\)

\(y'(x-1)=1-y\)

\(y'=\frac{1-y}{x-1}\)

En nu de tweede afgeleide

\(y''=\frac{(x-1)(-y')-(1-y)(1)}{(x-1)^2}=\frac{2y'-xy'-1}{(x-1)^2}\)

En volgens het antwoorden boek luidt

\(y''=\frac{2(y-1)}{(1-x)^2}\)

Ik zie niet hoe ze tot het antwoord komen. Zijn mij stappen tot nu toe juist en hoe werk ik naar het antwoord toe?

[Maverick2k]

De onderstaande opgave krijg ik maar niet opgelost:

Vindt y'' in termen van x en y

\( xy=x+y\)

Mijn uitwerking:

\(xy=x+y\)

\(y+xy'=1+y'\)

\(y'(x-1)=1-y\)

\(y'=\frac{1-y}{x-1}\)

En nu de tweede afgeleide

\(y''=\frac{(x-1)(-y')-(1-y)(1)}{(x-1)^2}=\frac{2y'-xy'-1}{(x-1)^2}\)

En volgens het antwoorden boek luidt

\(y''=\frac{2(y-1)}{(1-x)^2}\)

Ik zie niet hoe ze tot het antwoord komen. Zijn mij stappen tot nu toe juist en hoe werk ik naar het antwoord toe?

Even een aanvulling:

En nu de tweede afgeleide

\(y''=\frac{(x-1)(-y')-(1-y)(1)}{(x-1)^2}=\frac{2\frac{1-y}{x-1}-x\frac{1-y}{x-1}-1}{(x-1)^2}\)

[Morzon]

Tot hier is het goed:

\(y'=\frac{1-y}{x-1}\)

(1)

Dus

\(y' (x-1)=1-y\)

\(y'' (x-1)+y'=-y' \ \Leftrightarrow \ y''=-\frac{2y'}{(x-1)}\)

met (1) wordt dit:

\(y''=2 \frac{(y-1)}{(x-1)^2}\)

Dan mag je de noemer ook schrijven als (1-x)^2. (waarom mag dit denk je?)

[Morzon]

Even een aanvulling:

En nu de tweede afgeleide

\(y''=\frac{(x-1)(-y')-(1-y)(1)}{(x-1)^2} =\frac{2\frac{1-y}{x-1}-x\frac{1-y}{x-1}-1}{(x-1)^2}\)

Dit moet zijn:

\(y''=\frac{(x-1)(-y')-(1-y)(1)}{(x-1)^2}=\frac{-y'(x-1)-1+y}{(x-1)^2}=\)

\(\frac{-\frac{(1-y)}{(x-1)}(x-1)-1+y}{(x-1)^2}\)

\(=\frac{-(1-y)-1+y}{(x-1)^2}=\frac{2(y-1)}{(x-1)^2}\)