Cantor's continuümhypothese

[Ataraxia]

In de BBC4 documentaire Dangerous Knowledge komt de continuümhypothese van George Cantor ter sprake.

Aangezien ik een leek ben op het gebied van wiskunde, maar door de docu wel erg geïntrigeerd door Cantor, zou ik willen vragen of iemand mij kan uitleggen wat de kern van de continuümhypothese is. Vooralsnog weet ik door de docu alleen dat Cantor oneindigheid wilde definiëren en zelfs dacht dat er meerdere oneindigheden waren.

Ik keek al op Wikipedia, maar daar word ik niet bepaald wijzer van:

De continuümhypothese van Georg Cantor uit 1874 is een hypothese uit de verzamelingenleer, die stelt dat de cardinaliteit van de verzameling reële getallen (het continuüm) het eerste overaftelbare cardinaalgetal is, oftewel het eerste cardinaalgetal groter dan de cardinaliteit van de natuurlijke getallen.

Iemand?

[TD]

Veel tijd heb ik niet, dus moet het erg beknopt. Om het goed te snappen moet je je eerst verdiepen in het begrip "kardinaliteit". Daarover vind je ook wel wat op wikipedia.

Eenvoudig gezegd: Cantor heeft het begrip van "grootte" van een verzameling uitgebreid naar verzamelingen met een oneindig aantal elementen. Met het begrip kardinaliteit heeft hij een manier ontwikkeld om de "mate van oneindigheid" te kwantificeren.

Je kan aantonen dat de verzamelingen N, Z en Q (natuurlijke, gehele en rationale getallen) dezelfde kardinaliteit hebben. Of, populair gezegd, dat ze "even groot" zijn. Je kan ook aantonen dat dit niet meer geldt voor R (reële getallen), deze heeft een grotere kardinaliteit.

Men kan zich dan afvragen of er een mate van oneindigheid is, die zich tussen deze twee bevindt. Is er dus een verzameling die "groter" is dan N, Z en Q, maar "kleiner" dan R? Of is R de eerste opvolger, dus de eerste vorm van oneindig groter dan die van de natuurlijke getallen?

De continuümshypothese stelt dat de kardinaliteit van R direct volgt op die van N (en Z, Q) en dat er dus geen tussenliggende bestaat. Later heeft men getoond dat dit onafhankelijk is van de huidige axioma's van de verzamelingenleer: je kan het niet bewijzen maar ook niet ontkrachten. Je kan consequent aan wiskunde doen door dit als extra axioma aan te nemen, of door het tegendeel aan te nemen.

Waarschuwing: om het allemaal wiskundig 'netjes' uit te drukken (en dus ook juister/preciezer) moet je je eerst wat verdiepen in de theorie hieromtrent.

[A.Square]

Ik wil hier graag nog twee kleine opmerking aan toevoegen:

- Cantor noemde twee verzamelingen A en B even groot wanneer je ieder element uit A op een een-eenduidige manier aan een element uit B kunt vastknopen (dit noemen we relateren met een bijectieve afbeelding).

Voorbeeld 1: {1, 0, Driehoek} is even groot als {Vis, 2, 1} want ik kan deze verzamelingen gewoon puntsgewijs aan elkaar relateren. Dit geldt voor alle eindige verzamelingen. (Dit is dus een wezenlijk andere manier dan het tellen van de elementen)

Voorbeeld 2: De verzameling natuurlijke getallen is even groot als de verzameling gehele getallen want ik kan ze op de volgende manier aan elkaar relateren (waar "~" een relatie aangeeft):

1~0; 2~1; 3~(-1); 4~2; 5~(-2); 6~3 etc...

Voorbeeld 3 (moeilijker): De verzameling van punten op een (halve)lijn is even groot als de verzamling van punten in het begrensde vlak, ik kan namelijk de punten op de lijn als de tijd beschouwen die ik gebruik om over een Hilbertcurve in het vlak te lopen, deze curve passeert ieder punt.

- De continuümshypothese is een voorbeeld van Gödels onvolledigheidsstelling.

Wikipedia:

Bijectie: http://en.wikipedia.org/wiki/Bijection

Hilbertcurve: http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_curve

Gödels ovhstelling: http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27...eteness_theorem